স্থান রাঙাতে কটি রং লাগে? একটি সাধারণ মাপকাঠির জন্য 2d-এর বেশি নয়

একটি সমতল তলের প্রতিটি বিন্দু নিন এবং প্রত্যেকটিকে একটি রং দিন। নিয়ম একটাই: ঠিক এক একক দূরত্বে থাকা দুটি বিন্দুর রং কখনো এক হবে না। সবচেয়ে কম কটি রঙে কাজটি হয়?

এটিই হাডভিগার–নেলসন সমস্যা, যার সূচনা ১৯৫০ সালে এবং লেখকদের ভাষায় যা বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির (discrete geometry) সবচেয়ে বিখ্যাত অমীমাংসিত সমস্যাগুলোর একটি। দীর্ঘদিন জানা ছিল যে উত্তরটি ৪ থেকে ৭-এর মধ্যে। সাম্প্রতিক একটি যুগান্তকারী অগ্রগতি নিম্নসীমাকে তুলে আনে ৫-এ। নির্ভুল উত্তর এখনো অজানা।

মাপকাঠি বদলানো

দূরত্ব যে সাধারণ রুলার দিয়েই মাপতে হবে, এমন নয়। গণিতবিদেরা আরও বহু নর্ম (norm) — দৈর্ঘ্য মাপার উপায় — সংজ্ঞায়িত করেন, যার প্রত্যেকটিকে বর্ণনা করে তার “একক বল” (unit ball): কেন্দ্র থেকে সর্বোচ্চ ১ দূরত্বে থাকা বিন্দুগুলোর সেট। সাধারণ দূরত্বের ক্ষেত্রে এটি একটি গোল বল; অন্য নর্মের ক্ষেত্রে এটি কেন্দ্রের সাপেক্ষে প্রতিসম যেকোনো উত্তল আকৃতি হতে পারে।

সমতলের প্রতিটি নর্মের জন্য রং-করার ধাঁধার উত্তর ৪ থেকে ৭-এর মধ্যে। d মাত্রায় যেকোনো নর্মের জন্য তা সর্বোচ্চ d-এর সূচকীয় (exponential) মাপের, আর বহু স্বাভাবিক নর্মের জন্য — সাধারণ ইউক্লিডীয় নর্মসহ — তা অন্তত সূচকীয়ও: মাত্রা বাড়ার সঙ্গে রঙের সংখ্যা বিস্ফোরকভাবে বাড়ে।

এই বিস্ফোরণই কি নিয়ম? নোগা অ্যালন (প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয় ও তেল আবিব বিশ্ববিদ্যালয়), মাতিয়া বুচিচ (ভিয়েনা বিশ্ববিদ্যালয়) ও জেমস ডেভিস (লাইপজিগ বিশ্ববিদ্যালয়) একটি সাধারণ (typical) নর্মকে দেখেছেন। “এলোমেলোভাবে” একটি নর্ম বেছে নেওয়ার কোনো স্বাভাবিক উপায় নেই, তাই তাঁরা একটি টপোলজিক্যাল ধারণা ব্যবহার করেন: কোনো ধর্ম সাধারণ নর্মের জন্য সত্য, যদি ব্যতিক্রমগুলো একটি নগণ্য (“meagre”) সেট গঠন করে। অ্যালন, বুচিচ ও লিসা সাওয়েরমানের আগের কাজ দেখিয়েছিল যে একটি সাধারণ নর্মের জন্য সর্বোচ্চ 2ᵈ রং লাগে, এবং প্রশ্ন তুলেছিল এটি সত্যের কতটা কাছাকাছি।

সূচকীয় নয়, রৈখিক

উত্তর: মোটেই কাছাকাছি নয়। নতুন গবেষণাপত্রটি প্রমাণ করে যে

• d-মাত্রিক স্থানের একটি সাধারণ নর্মের জন্য 2d রং সবসময় যথেষ্ট;
• এর চেয়ে ভালো করা সম্ভব নয়: নর্মের একটি উন্মুক্ত সেটের জন্য অন্তত 2d রং লাগে। সুতরাং কিছু নর্মের জন্য ঠিক 2d লাগে।

দশ মাত্রায় একটি সাধারণ নর্মের জন্য সর্বোচ্চ বিশটি রং লাগে, অথচ সাধারণ দূরত্বের জন্য লাগে সূচকীয় হারে বাড়তে থাকা একটি সংখ্যা। লেখকদের মতে, এই প্রথম কোনো মাত্রা d-তে একটি “কঠোরভাবে উত্তল” (strictly convex) নর্মের জন্য রং-সংখ্যা নির্ভুলভাবে নির্ণয় করা গেল।

নিম্নসীমার প্রমাণে একটি চমৎকার ফাঁদ ব্যবহার করা হয়েছে। এমন 2d-টি বিন্দু খুঁজুন যারা পরস্পর থেকে ঠিক এক একক দূরে, কেবল দুটি বাদে — a ও b — যারা আধা একক দূরে। এবার a-এর সাপেক্ষে পুরো বিন্যাসটির প্রতিবিম্ব যোগ করুন। 2d-এর কম রং থাকলে b এবং তার প্রতিবিম্ব দুটোকেই a-এর রং নিতে বাধ্য হতে হবে — কিন্তু তারা ঠিক এক একক দূরে। স্ববিরোধ। একটি স্থিতিশীলতা লেমা দেখায় যে নর্মে যেকোনো ছোট পরিবর্তনেও এই বিন্যাস টিকে থাকে।

উচ্চ মাত্রায় এক নিঃসঙ্গ দৌড়বিদ

ঊর্ধ্বসীমার প্রমাণে প্রতিটি বিন্দুকে রং দেওয়া হয়, সেটির একটি সুনির্বাচিত অভিক্ষেপ (projection) 1/(2d) প্রস্থের কোন ফালিতে পড়ে তা দেখে। এটি কাজ করাতে একটি মূল উপাদান লাগে, যাকে লেখকেরা বিখ্যাত নিঃসঙ্গ দৌড়বিদ অনুমানের (lonely runner conjecture) একটি উচ্চ-মাত্রিক, ম্যাট্রিক্স সংস্করণ বলে বর্ণনা করেন:

sup over x of minᵢ ‖aᵢ · x − bᵢ‖ ≥ k / (2n)

যেখানে ‖t‖ হলো t থেকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যার দূরত্ব, k মাত্রায় এমন যেকোনো n-টি ভেক্টর aᵢ-এর জন্য যাদের যেকোনো k-টি স্বাধীন। এই বিবৃতি আই. জে. শোনবার্গের ১৯৭৮ সালের “দৃষ্টি-অবরোধ” (view obstruction) সংক্রান্ত একটি অনুমানেরও মীমাংসা করে — অসীমের দিকে প্রতিটি দৃষ্টিরেখা আটকাতে পর্যায়ক্রমিক ফলকগুলো কতটা পুরু হতে হবে, সেই প্রশ্ন — যাকে লেখকেরা এই ক্ষেত্রের সবচেয়ে ধ্রুপদি অমীমাংসিত সমস্যাগুলোর একটি বলেন; সেই সঙ্গে হেনৎসে ও মালিকিওসিসের একটি সম্পর্কিত অনুমানেরও।

কৃতজ্ঞতাস্বীকারে যন্ত্র

লেখকেরা স্পষ্ট: “দীর্ঘ এক আলোচনার পর ChatGPT 6 Pro আমাদের থিওরেম ১-এর প্রমাণে প্রয়োজনীয় শেষ উপাদানটির, অর্থাৎ লেমা ৭-এর প্রমাণ দিয়েছে” — যে আলোচনায় তাঁরা নিজেদের পর্যবেক্ষণ ভাগ করে নিয়েছিলেন, আরোহের (induction) ধারণা ও সাধারণ কৌশলসহ। “নিম্নসীমার যুক্তিটিও ChatGPT 6 Pro-র সহায়তায় পাওয়া গেছে।”

প্রশ্ন রয়ে গেছে। নির্ভুল মান 2d প্রমাণিত হয়েছে নর্মের একটি উন্মুক্ত সেটে, সব সাধারণ নর্মের জন্য নয়। আর সাধারণ ইউক্লিডীয় দূরত্বের ক্ষেত্রে লেখকেরা প্রতিটি মাত্রায় 2d-এর চেয়ে কঠোরভাবে বেশি রং আশা করেন — যা ২, ৪, ৭, ৮ এবং ৯ ও তার ঊর্ধ্ব মাত্রায় ইতিমধ্যে জানা, কিন্তু ৩, ৫ ও ৬ মাত্রায় এখনো অমীমাংসিত।