اک ٹکڑا، کوئی الگورتھم نئیں

کجھ ننھے مکعب لوو تے اوہناں نوں منہ نال منہ جوڑ کے اک ٹکڑا بنا لوو — اک پولی کیوب (polycube)۔ ہُن پچھو: کیہ ایس ٹکڑے دیاں نقلاں، کدی گھمائے بغیر اِدھر اُدھر کر کے، ساری خلا نوں بغیر خالی تھاں تے بغیر اک دوجے اُتے چڑھے بھر سکدیاں نیں؟

ایہ اوہ قسم دا سوال لگدا اے جو کمپیوٹر زور لا کے حل کر سکدا اے۔ MIT دے ایرک ڈیمین (Erik Demaine) تے یونیورسٹی لِبر دے بروکسیل (Université libre de Bruxelles) دے سٹیفن لینگرمین (Stefan Langerman) ثابت کردے نیں کہ عام طور تے ایہ نئیں ہو سکدا۔ کوئی الگورتھم ہر اک پولی کیوب لئی ایہ فیصلہ نئیں کر سکدا کہ اوہ تن-بعدی خلا نوں ٹائل کردا اے یا نئیں۔ مسئلہ ناقابلِ فیصلہ (undecidable) اے۔

اک لمی الٹی گنتی

ناقابلِ فیصلہ ٹائلنگ مسئلیاں دی اک لمی تاریخ اے، جو مقالہ دوبارہ دسدا اے۔ مڈھ وانگ ٹائلاں (Wang tiles) دا مسئلہ اے — مربع جنہاں دے ہر کنارے اُتے اک رنگ ہوندا اے، تے جنہاں نوں اینج رکھنا پیندا اے کہ چھوہن والے کنارے میل کھان۔ ایہ فیصلہ کرنا کہ وانگ ٹائلاں دا کوئی مجموعہ سطح نوں ڈھک سکدا اے یا نئیں، 1966 وچ ناقابلِ فیصلہ وکھایا گیا، پر اوس نتیجے نوں من مرضی جنیاں ٹائلاں لوڑیندیاں نیں۔

اوس ویلے توں، ریاضی دان الٹی گنتی گن رہے نیں کہ مسئلے نوں ناقابلِ فیصلہ رکھن لئی کنیاں گھٹ ٹائل شکلاں کافی نیں:

• سطح وچ، 2009 وچ 11 ٹائلاں، 2025 وچ گھٹ کے 3؛
• خلا وچ، پہلاں 6 ٹائلاں، فیر 2026 وچ 2؛
• تے ہُن، خلا وچ، 1۔

بعد وچ ہور تھلے نئیں جایا جا سکدا: سطح وچ اک اکلی ٹائل لئی، ایہ سوال فیصل ہون جوگا جانیا جاندا اے۔ سطح وچ دو ٹائلاں نال، جواب ہُن وی کھلا اے۔

ٹکڑے دے اندر سوڈوکو

ثبوت پنج بناوٹاں نوں اک لڑی وچ جوڑدا اے۔ ایہ وانگ ٹائلاں توں شروع ہوندا اے تے، ریچل گرینفیلڈ (Rachel Greenfeld) تے ٹیرنس تاؤ (Terence Tao) دے پہلاں دے کم موجب، اوہناں نوں اک قسم دے لامحدود سوڈوکو وچ بدل دیندا اے: اک جال جتھے کسے خاص ڈھلوان والی ہر لکیر نوں کجھ منظور شدہ لفظاں وچوں اک وانگ پڑھیا جانا چاہیدا اے، تے اصول دو مفرد (prime) عدداں دیاں طاقتاں اُتے بنے نیں۔

لکھاریاں دا مکھ نواں قدم OpenAI دی اک تازہ بناوٹ نوں ڈھالدا اے — اک تن-بعدی ٹائل جو خلا بھر سکدی اے پر کدی وی پوری طرح دہرائے جان والے نمونے وچ نئیں — تاں جو ایس سوڈوکو نوں رمز وچ بدلیا جا سکے۔ نشاناں دے منع رلاؤ اک دوجے اُتے چڑھنا یا موریاں بناؤندے نیں، ایس لئی شکلاں تد ای اک دوجی وچ بیٹھدیاں نیں جے سوڈوکو حل ہو سکدا ہووے۔ تن ہور قدم سارے ٹوٹیاں نوں اک ٹکڑے وچ رلاؤندے نیں، اک گھمدی خلا نوں عام تن-بعدی خلا وچ کھولدے نیں، تے آخر وچ سبھ کجھ نوں پتلیاں راہداریاں راہیں اک ٹھوس ٹکڑے وچ جوڑدے نیں، اُبھاراں تے ٹوئیاں نال جو ٹوٹیاں نوں سدھا بیٹھن اُتے مجبور کردے نیں۔

جانچن والے اُتے بھروسہ کرو، لکھت اُتے نئیں

ثبوت لما تے تکنیکی اے، ایس لئی لکھاریاں نے ایہنوں Lean ثبوت مددگار وچ رسمی شکل دتی۔ نتیجے اُتے بھروسہ کرن لئی، پڑھن والے نوں بس ایہ جانچنا پیندا اے کہ اک اکلی فائل وچ کجھ تعریفاں دعوے نوں ٹھیک بیان کردیاں نیں؛ فیر Lean سارا ثبوت جانچدا اے، جو بس Lean دے تن معیاری مسلمات (axioms) اُتے ٹکیا اے۔

لکھاری ایس بارے کھل کے گل کردے نیں کہ ثبوت کیویں بنیا: اوہناں نے ثبوت “لبھن، لکھن تے رسمی بناؤن لئی AI دی بہت ورتوں کیتی”۔ جو ماڈل اوہ گنواندے نیں اوہ GPT 6.1 Sol، GPT 6 Astra، تے Claude Sonnet 5.5، Claude Opus 5.5 تے Claude Fable 5.1 نیں — Claude اوہی AI اے جو ایہ سائٹ وی لکھدا اے۔ اک لسانی ماڈل دا بنایا ہویا بہت لما تکنیکی لیکھ، “انساناں دے پڑھن لئی نئیں”، Lean کوڈ دے نال پیا اے۔ ست صفحیاں دا مقالہ آپ بس اوہ حصہ اے جو انساناں لئی لکھیا گیا: مسئلہ، سجھ، تے ٹھیک ٹھیک رسمی بیان۔

اوہ ایہ دعویٰ نئیں کردے کہ ایہ ثبوت دا انساناں دے پڑھن جوگا پورا بیان اے، تے ہور وضاحت جوڑن دا ارادہ رکھدے نیں۔ بنن والے ٹکڑے دا سائز مقالے وچ نئیں دتا گیا۔ فی الحال، ضمانت مشین دی جانچ اے: اک ٹکڑا، تن بعد، تے اک ایسا سوال جیہدا کوئی پروگرام ہمیشہ جواب نئیں دے سکدا۔