关于网络的一个上限，如今对任意大小都得到证明
取几个点，把其中一些点对用线连起来。数学家把这叫作图：点是它的顶点，线是它的边，两个顶点之间的距离是从一个走到另一个所需的最少边数。现在再加两条规则。每一对顶点之间的距离都必须至多为2——要么直接相连，要么通过一个公共邻点相连。而且不能有多余的边：删掉任意一条边，就会有某一对顶点相隔超过两步。这样的图称为直径2临界图。它最多能有多少条边？
曼特尔的上限，以及一个更大胆的猜测
1907年，曼特尔（Mantel）证明：一个有n个顶点、不含三角形（即没有三个两两相连的顶点）的图，至多有**⌊n²/4⌋条边**：n的平方除以四，向下取整。只有一种图能达到这个上限，即平衡完全二部图：两组顶点数尽可能相等，一组中的每个顶点都与另一组中的每个顶点相连，组内没有边。
每个不含三角形、且再加任何一条边都会产生三角形的图，都是直径2临界图。反过来则不成立：有些直径2临界图含有三角形。
一个有7个顶点、9条边的直径2临界图，含有三角形v1v3v5。删除v1v3会破坏v2与v3之间唯一的两步路径；删除三角形之外的任意一条边，会使它的两个端点之间不再有两步路径。——图1，Das & Fox（2026），arXiv:2610.39032。
人们猜测三角形带不来任何好处：一个有n个顶点的直径2临界图仍然至多有⌊n²/4⌋条边，而平衡完全二部图仍是唯一能达到上限的图。曼特尔定理将作为特例由此推出。对于图中的7个顶点，上限是12条边。
一座由2堆成的塔
据Zoltán Füredi转述，按照埃尔德什（Erdős）的说法，这个问题可以追溯到奥尔（Ore）在20世纪60年代的工作。Ján Plesník于1975年把边数上界作为猜想提出；穆尔蒂（Murty）和西蒙（Simon）独立地提出了它，并补充说平衡完全二部图是唯一的极端情形——因此称为穆尔蒂–西蒙猜想。在20世纪70年代和80年代，形如c·n²的上界逐渐下降，c越来越接近1/4。
1992年，Füredi借助正则性方法——源自塞迈雷迪（Szemerédi）正则性引理的工具——证明了该猜想对所有足够大的n成立。代价是起始规模：n必须至少是一座高约10¹⁴层的2的幂塔，也就是2的2的2……次幂，从塔顶往下计算——每个2都以它上方的全部内容为指数——塔里叠着大约10¹⁴个2。低于这个规模，只有一些特殊的图族得到了解决。
边与缺失的边
斯坦福大学数学系的Sanjana Das和Jacob Fox给出的新证明，对从3起的每一个n都成立。它用到了极大匹配：一组两两没有公共顶点的边，再也无法加入任何一条边而不使其中两条相交。n个顶点上的匹配至多有⌊n/2⌋条边。
关键引理是：在直径2临界图中，对于任何极大匹配，匹配之外的边从不多于非边——即没有相连的顶点对。剩下的就是算术了。边数的两倍至多等于顶点对的总数加上匹配的大小。以10个顶点为例：45个顶点对加上至多5条匹配边，共50，因此至多25条边。对每一个n，这个和恰好等于曼特尔上限的两倍。
这条引理本身是一项细致的计数工作。如果一条非边的两个端点之间只有唯一一条两步路径，就称它为临界的，图1中的全部十二条非边都是如此。作者把每条临界非边与其路径上的两条边关联起来，再把由此得到的网络拆分成若干连通块。每个连通块中的边至多比临界非边多一条，而每个有这种盈余的连通块都必须由一条非临界非边来“买单”。为了找到这些非边，作者使用了交换出口：取连通块中的一条边或临界非边，把它的一个端点换成该端点在匹配中的伙伴。每条非临界非边至多被认领两次，每个有盈余的连通块至少发出两次认领，于是计数得以闭合。
谁发现了什么
“这个证明主要是由人工智能找到的，具体来说是GPT-5.6 Sol，时间是2026年8月11日，”作者在一份简短的人工智能声明中写道。该模型找到了⌊n²/4⌋上界的完整证明，作者对其做了简化。对于顶点数为偶数的情形，它还证明了平衡完全二部图是唯一的极端情形，所依据的是萨姆纳（Sumner）证明的一个关于这样一类图的事实：在这类图中，每个极大匹配都是完美的，即覆盖所有顶点。
当顶点数为奇数时，没有匹配是完美的，而且许多图的每个极大匹配都恰好漏掉一个顶点：模型的论证无法照搬过来。作者找到了等号情形的另一种证明，对每一个n都成立，并亲自撰写了论文；最后经GPT-6 Astra过了一遍，带来了“一些小修改”。这篇论文是预印本，尚未经过同行评审，也没有提到该论证有经计算机验证的版本。
回到1907年
如果一个图恰好达到上限，那么关键不等式对每一个极大匹配都取等号。通过巧妙地选择匹配，作者证明这样的图要么是一个星图——一个顶点与其余所有顶点相连，此外别无他边——要么根本没有临界非边。在直径2临界图中，三角形的每条边都位于某条临界路径上，所以没有临界非边就意味着没有三角形；星图也没有三角形。因此，达到上限的图不含三角形，而最后一步正是该猜想原本要加强的那个定理：曼特尔1907年的结果，它让平衡完全二部图独自停留在上限处。