Mathématiques · l'expérience
Trouve le plafond des arêtes
Des sommets, des arêtes, et pas une arête de trop. Quatre questions, du débutant à l'expert, sur le plafond de Murty-Simon et sur la façon dont il a enfin été démontré.
1 · Dis ce qui est démontré
Débutant
Que démontrent Sanjana Das et Jacob Fox sur les graphes diamètre-2-critiques ?
2 · Calcule le plafond
Inégalité clé de l'article : deux fois le nombre d'arêtes vaut au plus le nombre de paires de sommets plus le nombre d'arêtes d'un couplage maximal. Un graphe diamètre-2-critique à 9 sommets compte 36 paires, et un couplage y a au plus 4 arêtes.
Intermédiaire
Combien d'arêtes ce graphe peut-il avoir au plus ?
3 · Explique l'impasse
Pour un nombre pair de sommets, GPT-5.6 Sol a aussi démontré que seul le graphe biparti complet équilibré atteint le plafond, en s'appuyant sur un résultat de Sumner sur les graphes dont tout couplage maximal est parfait, c'est-à-dire couvre tous les sommets.
Expert
Pourquoi les auteurs n'ont-ils pas pu adapter cet argument à un nombre impair de sommets ?
4 · Mets les triangles à l'épreuve
La figure 1 montre un graphe diamètre-2-critique à 7 sommets et 9 arêtes qui contient un triangle.
Expert
Un graphe diamètre-2-critique qui contient un triangle peut-il atteindre le plafond ⌊n²/4⌋ ?
Plafond trouvé
—