سورج مکھی والا قیاس ثابت ہو گیا

1 توں n تک دے عدد لوو تے اوہناں وچوں کجھ چُنن دے سارے طریقے ویکھو: اجیہے 2ⁿ ذیلی سیٹ ہوندے نیں۔ ہُن کجھ ذیلی سیٹ چُنو جیہڑے ٹھیک اکو جیہا سانجھا حصہ رکھدے نیں، تے ہور کجھ وی سانجھا نئیں۔ ریاضی دان ایہنوں سورج مکھی (sunflower) آکھدے نیں: سانجھا حصہ وچکار اے، تے ہر سیٹ دا باقی بچیا حصہ اک پتی اے جیہڑی کسے ہور پتی نوں نئیں چھوہندی۔

سورج مکھیاں ترتیبیات (combinatorics) دا اک بنیادی اوزار نیں۔ مقالہ اوہناں دے کجھ منطقی سرکٹاں دیاں حداں، “cap set” مسئلے، تیز میٹرکس ضرب تے معلومات دے نظریے نال تعلق گنواندا اے۔

1970 دا اک سوال

لکھاریاں موجب، اوہناں بارے سب توں قدرتی سوال پال اردوش دے 1970 دے اک مقالے تک جاندا اے۔ {1, …, n} دے ذیلی سیٹاں دا اک مجموعہ کِنّا وڈا ہو سکدا اے جے اوہدے کوئی وی k سیٹ سورج مکھی نہ بنان؟

1970 دی دہائی وچ اردوش تے اینڈرے سیمیریدی نے قیاس کیتا کہ اجیہا مجموعہ 2ⁿ ممکن ذیلی سیٹاں توں قوتی طور تے نکا ہونا چاہیدا اے: زیادہ توں زیادہ cⁿ، کسے اجیہے عدد c لئی جیہڑا پکا 2 توں تھلے ہووے۔

کئی دہاکیاں تک سب توں چنگیاں حداں تھوڑا جیہا ای گھٹاندیاں رہیاں، بنیاد نوں 2 توں تھلے لیان لئی کدی کافی نہ ہوئیاں۔ صرف تِن پتیاں والی حالت (k = 3) 2016 وچ حل ہوئی، cap set مسئلے وچ وڈی کامیابی تے الون، شپلکا تے اومانز دی اک تخفیف (reduction) راہیں۔

حد

ماتیا بوچچ تے فانکانگ ہی (ویانا یونیورسٹی) تے ہیونوو لی (KAIST تے جنوبی کوریا دا بنیادی سائنس انسٹیٹیوٹ) قیاس نوں ہر k ≥ 3 لئی ثابت کردے نیں۔ اوہناں دا مُکھ مسئلہ: جس مجموعے وچ k پتیاں والا سورج مکھی نہ ہووے، اوہدے زیادہ توں زیادہ

3 · (2 − 1/(16k³))ⁿ

رکن ہوندے نیں۔ بنیاد 2 توں ذرا تھلے اے، پر ایہہ 2 توں تھلے اک پکا عدد اے، تے اردوش تے سیمیریدی ٹھیک ایہو منگدے سن۔ 1997 دی اک بناوٹ دسدی اے کہ وڈے k لئی اصل قیمت ایہدے توں بہت گھٹ نئیں ہو سکدی۔

سیٹاں توں سمتیاں ول

ثبوت مسئلے دے سمتیاں (vectors) والے روپ وچوں لنگھدا اے۔ عدداں نوں D رکناں والے n ٹوٹیاں وچ ونڈو تے ہر ٹوٹے وچوں اک رکن چُنو: ہر چوݨ اک سمتیہ اے۔ کئی سمتیے اوس ویلے سورج مکھی بناندے نیں جدوں ہر تھاں اُتے اوہناں دے اندراج یا تے سارے برابر ہون یا سارے وکھرے۔

فیر لکھاری اک “سورج مکھی جانچو” بناندے نیں: اک فنکشن جیہڑا سورج مکھی توں خالی مجموعے اُتے صرف اوس ویلے صفر نئیں ہوندا جدوں اوہدے سارے اِن پُٹ اکو سمتیہ ہون۔ نواں ٹکڑا ایہہ اے کہ ایس فنکشن نوں قدم قدم گھٹ درجے والے درون یابی کثیر رقمیاں (interpolation polynomials) نال لکھیا جاوے۔ اوہناں کثیر رقمیاں نوں گننا مجموعے دے ناپ دی حد بنھدا اے (اوہناں دا مسئلہ 2)۔ اک امکانی دلیل، یعنی سارے سیٹ ناپاں اُتے اوسط کیتے گئے بے ترتیب ٹوٹے، ایس حد نوں عام سیٹاں تک واپس لیاندی اے۔

اک مشین نے لبھیا، دوجی نے جانچیا

مصنوعی ذہانت بارے مقالے دا بیان غیر معمولی طور تے سدھا اے۔ مسئلہ 2 دا ثبوت ChatGPT 6 Astra Pro نے لبھیا، اک نکی گل بات مگروں جیہڑی جانی پچھانی تِن پتیاں والی دلیل نوں عام کرن دی فرمائش نال شروع ہوئی سی۔ لکھاریاں نوں ایہہ قدم اک ہور مقصد لئی لوڑیندا سی: سیمیریدی دے پیش کیتے اک گراف مسئلے دا اک induced روپ، جیہدا اوہ اگلے کسے نوٹ وچ اعلان کرن گے۔

ماڈل نے اپنا ثبوت “slice rank” دی بولی وچ لکھیا۔ لکھاریاں نے اوہنوں کثیر رقمی طریقے دی بولی وچ دوبارہ لکھیا، جیہڑی اوہناں موجب پڑھن والیاں لئی سوکھی اے۔ اوہ دسدے نیں کہ اوہناں نے ہر نتیجہ آپ جانچیا اے تے پوری ذمہ داری لیندے نیں، تے ایہہ کہ ثبوت Lean 4.35 وچ تصدیق ہو چکیا اے، جیہڑا ثبوت جانچن والا سافٹ ویئر اے، تے ایہہ تصدیق Palomar ذخیرے اُتے چھاپی جاوے گی۔

جو ایہہ حل نئیں کردا

لکھاریاں نے بنیاد نوں بہترین بنان دی کوشش نئیں کیتی۔ تِن پتیاں لئی، ایہہ ناسلنڈ تے ساوِن دی 2017 والی تقریباً 1.89 دی حد توں اگے نئیں ودھدا۔ تے ایہدی ودھیرے مضبوط بھین مسئلہ، اردوش–رادو سورج مکھی قیاس، ہلے وی کھلا اے: اوہناں دیاں حداں ہلے وی ٹوٹے دے ناپ D اُتے بہت ٹکیاں نیں، تے اوہ مسئلہ ٹھیک ایہو گل منع کردا اے۔