اوہ سب توں وڈی رقم جو تُسیں ادا نہیں کر سکدے، ہُن اک کسی ہوئی حد وچ

اک اجیہے گَلّے دا سوچو جو صرف کجھ قسماں دے سِکے لیندا اے، جنہاں دی کوئی کمی نہیں، تے کدی بقایا واپس نہیں دیندا۔ کجھ رقماں پوریاں پوریاں ادا ہو سکدیاں نیں؛ کجھ کدی نہیں۔ ریاضی دان سِکیاں دیاں قیمتاں نوں جنریٹر (generators) آکھدے نیں، تے اک دھوکھا دین والا سادہ سوال پچھدے نیں: سب توں وڈی رقم کیہڑی اے جو ادا نہیں ہو سکدی؟

اوہ رقماں جو کدی ادا نہیں ہو سکدیاں

پورے عدد a₁ < a₂ < … < aₙ لوو جنہاں سب وچ کوئی سانجھا جُز نہ ہووے۔ ایہناں عدداں نوں، ہر اک نوں جناں وار مرضی، جوڑ کے بنیا جوڑ “ادا ہون جوگا” (representable) اے۔ صرف گنتی دے پورے عدد ایہو جیہے نیں جو ادا نہیں ہو سکدے؛ اوہناں وچوں سب توں وڈا فروبینیئس عدد، F، اے۔ (جے کوئی اک قیمت 1 ہووے، تے ہر شے ادا ہو سکدی اے تے F نوں −1 منّیا جاندا اے۔)

اک نکی مثال: 3، 4 تے 6 دے سِکیاں نال، تُسیں 3، 4، 6، 7، 8 تے ایہدے بعد دی ہر رقم ادا کر سکدے او، پر 1، 2 یا 5 کدی نہیں۔ ایس لئی F = 5۔ دھیان دیو کہ 3 تے 6 وچ اک سانجھا جُز اے؛ اہم گل ایہہ اے کہ تِناں وچ کوئی جُز سانجھا نہ ہووے۔

دو سِکیاں لئی اک ٹھیک جواب موجود اے، Sylvester دا فارمولا: F(a₁, a₂) = a₁a₂ − a₁ − a₂۔ تِن یا ودھ لئی، کم F نوں حد وچ بنھنا اے: ایہہ ثابت کرنا کہ ایہہ سِکیاں توں کڈھی گئی کسے قیمت توں ودھ نہیں ہو سکدا۔

2 دا اک ضدی جُز

Paul Erdős تے Ronald Graham نے، تِن یا ودھ جنریٹراں لئی، ثابت کیتا:

F ≤ 2aₙ₋₁⌊aₙ/n⌋ − aₙ

ایتھے aₙ سب توں وڈی قیمت اے، aₙ₋₁ دُوجی سب توں وڈی، n قیمتاں دی گنتی، تے ⌊ ⌋ دا مطلب اے تھلے ول گول کرنا۔ Sylvester دے فارمولے وانگ، ایہدے وچ دو سب توں وڈے سِکے آؤندے نیں۔

اوہناں نے بدترین حالت دا اندازہ وی لایا، یعنی سب توں وڈا ممکن F جدوں ساریاں n قیمتاں زیادہ توں زیادہ t ہون۔ اوہناں دے اندازیاں وچکار دا پاڑا، لگ بھگ 2 دا جُز، اک قیاس (conjecture) ول لے گیا جو Erdős Problem #433 دے ناں نال درج اے۔ Jacques Dixmier نے ایہہ حل کیتا، تے ہر سیٹ لئی ٹھیک بیٹھن والی اک سادہ حد وی ثابت کیتی: F ≤ aₙ²/(n − 1)۔ 2 دا جُز مُک گیا، پر دُوجا سب توں وڈا سِکا وی۔

دوویں سب توں وڈے سِکے رکھنا

ژےجیانگ یونیورسٹی دے College of Computer Science and Technology دے Lin Chen، Tingwei Hu، Yuchen Mao تے Guochuan Zhang دوویں چاہندے سن: 2 دا جُز وی نہ ہووے، تے دُوجا سب توں وڈا سِکا وی رہوے۔ اوہناں دا جواب، دو یا ودھ قیمتاں دے کسے وی سیٹ لئی ٹھیک:

F ≤ aₙ₋₁⌈aₙ/(n − 1)⌉ − aₙ − 1

ایتھے ⌈ ⌉ دا مطلب اے اُتے ول گول کرنا۔ Erdős تے Graham دے مقابلے وچ، 2 دا جُز غائب ہو گیا اے، پر ایہدی قیمت ایہہ اے کہ n دی تھاں n − 1 نال ونڈنا تے اُتے ول گول کرنا پیندا اے۔ Dixmier دے مقابلے وچ، نویں حد کافی نکی ہو سکدی اے جدوں دُوجا سب توں وڈا سِکا سب توں وڈے دے مقابلے وچ نکا ہووے۔

3، 4، 6 والی مثال اُتے، Erdős تے Graham دی حد 10 دیندی اے، Dixmier دی 18، تے نویں 4 × 3 − 6 − 1 = 5، بالکل اصل قیمت۔ کوئی حیرانی والی گل نہیں: ایہہ سیٹ تھلے دسیاں انتہائی مثالاں دے ٹبر وچوں اے، جو حد تیکر ٹھیک ٹھیک اپڑن لئی بنائیاں گئیاں؛ مقالہ عام سیٹاں اُتے کوئی ٹاکرا نہیں دیندا۔

رقماں نوں باقی دے حساب نال ونڈنا

ثبوت Erdős تے Graham دے راہ اُتے چلدا اے۔ ہر رقم نوں سب توں وڈے سِکے، aₙ، نال ونڈن توں بعد بچے باقی دے حساب نال ترتیب دیو۔ جدوں نکے سِکیاں دا کوئی جوڑ کسے دتے باقی تیکر اپڑ جاندا اے، تے aₙ دیاں نقلاں جوڑ کے اوسے باقی والی ہر وڈی رقم تیکر اپڑیا جا سکدا اے۔ کم ایہہ وکھاؤنا اے کہ ہر باقی سستے وچ اپڑیا جا سکدا اے۔

مُکھ اوزار Kneser دا تھیورم (theorem) اے، جو دسدا اے کہ جوڑاں دا اک سیٹ گھٹ توں گھٹ کِنا وڈا ہونا چاہیدا اے۔ Erdős تے Graham نے ایہنوں ایہہ وکھاؤن لئی ورتیا کہ لگ بھگ aₙ/n سِکیاں دے جوڑ اَدھے توں ودھ باقیاں نوں ڈھک لیندے نیں، فیر سارے ڈھکن لئی اوہناں نوں دُگنا کیتا۔ ایہناں جوڑاں وچ ہر سِکے دی قیمت زیادہ توں زیادہ aₙ₋₁ اے، ایس لئی سِکیاں دی گنتی دُگنی کرن نال لاگت دُگنی ہو جاندی اے: ایتھوں ای 2 دا جُز آؤندا اے۔

نواں ثبوت ⌈aₙ/(n − 1)⌉ سِکیاں دے جوڑ ورتدا اے۔ جدوں ایہہ جوڑ کجھ باقی چھڈ دیندے نیں، Kneser دا تھیورم دسدا اے کہ چھُٹے ہوئے باقی اٹکل پچو کھلرے ہوئے نہیں ہوندے: اوہ باقاعدہ وِتھاں اُتے رکھے باقیاں دے پورے ٹبر بناؤندے نیں۔ جنے ودھ ٹبر چھُٹدے نیں، اونے ای ودھ نکے سِکیاں نوں ہر اپڑے ہوئے ٹبر وچ گھُس کے بیٹھنا پیندا اے، ایس لئی اجیہے ہر ٹبر وچ کجھ نکے سِکے ہوندے نیں، تے چھُٹے ہوئے ٹبراں تیکر اپڑن لئی لوڑیندے تھوڑے جیہے وادھو سِکے سستے پیندے نیں۔ کُل لاگت کدی وی ⌈aₙ/(n − 1)⌉ × aₙ₋₁ توں ودھ نہیں ہوندی۔

ایہہ پہلا قدم حد نوں اوہدے آخری “− 1” توں بغیر دیندا اے۔ آخری اکائی اک وکھری دلیل توں آؤندی اے، جو Scherk تے Kemperman دے اک تھیورم اُتے ٹکی اے جو اوہناں جوڑاں بارے اے جو صرف اک ای طریقے نال بنائے جا سکدے نیں: ایہہ وکھاؤندی اے کہ سرحدی رقم aₙ₋₁⌈aₙ/(n − 1)⌉ − aₙ آپ ہمیشہ ادا ہو سکدی اے۔ شکریے والے حصے مطابق، لکھاریاں نے پہلاں کمزور حد ثابت کیتی؛ فیر GPT-6 نے اوہ دلیل لبھن وچ مدد کیتی جو ایہنوں اک گھٹ کردی اے، تے ایس ثبوت وچ وی ہتھ ونڈایا کہ حد ہور تھلے نہیں لیائی جا سکدی، تے انگریزی دی سودھائی وچ وی۔ لکھاری دسدے نیں کہ آخری مسودے دی ذمہ واری اوہ آپ لیندے نیں۔

اوہ مثالاں جو ٹھیک حد اُتے جا وجدیاں نیں

ایہہ حد ہور تھلے نہیں لیائی جا سکدی: ہر n ≥ 3 لئی، لکھاری بے انت سیٹ بناؤندے نیں جتھے F بالکل ایہدے برابر اے۔ کوئی وی q ≥ 2 لوو تے قیمتاں q، 2q، …، (n − 1)q، نال (n − 2)q + 1۔ اک توں چھڈ کے سارے q دے ضربی (multiples) نیں، ایس لئی اوہ کوئی اجیہی رقم ادا نہیں کردے جو اکلا q نہ کر سکے۔ سیٹ دو سِکیاں، q تے (n − 2)q + 1، وانگوں چلدا اے، تے Sylvester دا فارمولا اک اجیہا F دیندا اے جو نویں حد نال ٹھیک ٹھیک ملدا اے۔ n = 3 تے q = 3 نال، ایہہ نسخہ بالکل اُتے والی 3، 4، 6 دی مثال بناؤندا اے۔

گھٹ سِکے، نیویں چھت

حد نوں گھنتا (density) دے حساب نال وی پڑھیا جا سکدا اے۔ ایہہ کسے وی گھٹائے ہوئے سیٹ اُتے لاگو ہوندی اے جو i سب توں نکیاں قیمتاں تے سب توں وڈی قیمت توں بنیا ہووے، جدوں تیکر اوہناں وچ حالے وی کوئی سانجھا جُز نہ ہووے۔ سِکے کڈھن نال ادائیگی صرف ہور اوکھی ای ہو سکدی اے، ایس لئی گھٹائے ہوئے سیٹ لئی ثابت کیتی چھت پورے سیٹ اُتے وی لاگو ہوندی اے۔ نتیجے نوں قابو کرن والی شے لگ بھگ aᵢ/i اے، یعنی ایس گل دا اُلٹ کہ پہلیاں i قیمتاں 1 توں aᵢ تیکر دے عدداں نوں کِنی گھنی طرحاں بھردیاں نیں: سب توں گھنی ٹولی جتدی اے۔ خاص طور اُتے، لکھاری دسدے نیں، جدوں وی باقی سِکیاں وچ حالے وی کوئی ساریاں وچ سانجھا جُز نہ ہووے، دُوجے سب توں وڈے سِکے نوں بس پاسے رکھیا جا سکدا اے۔

مقالہ پوری طرحاں نظریاتی رہندا اے: ایہہ کوئی انکڑا نہیں دیندا کہ عام سِکیاں دے سیٹاں اُتے نویں حد کِنی نکی اے، تے ایہدا بالکل کسیا ہونا (sharpness) صرف تِن یا ودھ سِکیاں دیاں قیمتاں لئی ثابت کیتا گیا اے۔