செலுத்த முடியாத மிகப் பெரிய தொகை, இப்போது இறுக்கமான வரம்புக்குள்

சில வகை நாணயங்களை மட்டுமே, வரம்பற்ற அளவில், ஏற்றுக்கொள்ளும், ஒருபோதும் சில்லறை திருப்பித் தராத ஒரு பணப்பெட்டியைக் கற்பனை செய்யுங்கள். சில தொகைகளைச் சரியாகச் செலுத்தலாம்; மற்றவற்றை ஒருபோதும் செலுத்த முடியாது. கணிதவியலாளர்கள் நாணய மதிப்புகளை பிறப்பிகள் (generators) என்று அழைத்து, ஏமாற்றும் அளவுக்கு எளிய ஒரு கேள்வியைக் கேட்கின்றனர்: செலுத்த முடியாத மிகப் பெரிய தொகை எது?

ஒருபோதும் செலுத்த முடியாத தொகைகள்

எல்லாவற்றுக்கும் பொதுவான காரணி இல்லாத a₁ < a₂ < … < aₙ என்ற முழு எண்களை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். இந்த எண்களை, ஒவ்வொன்றையும் விரும்பிய அளவு முறை, கூட்டிப் பெறப்படும் ஒரு மொத்தம் “குறிக்கத்தக்கது” (representable). முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான முழு எண்கள் மட்டுமே அவ்வாறு இல்லை; அவற்றில் மிகப் பெரியது ஃப்ரோபீனியஸ் எண் (Frobenius number), F. (மதிப்புகளில் ஒன்று 1 என்றால், எல்லாவற்றையும் செலுத்தலாம்; F, −1 என வைக்கப்படுகிறது.)

ஒரு சிறிய எடுத்துக்காட்டு: 3, 4, 6 நாணயங்களைக் கொண்டு, 3, 4, 6, 7, 8, அதன் பிறகு வரும் எல்லாத் தொகைகளையும் செலுத்தலாம், ஆனால் 1, 2, 5-ஐ ஒருபோதும் செலுத்த முடியாது. எனவே F = 5. 3-க்கும் 6-க்கும் பொதுவான ஒரு காரணி இருப்பதைக் கவனியுங்கள்; முக்கியமானது, மூன்றுக்கும் பொதுவான காரணி எதுவும் இல்லை என்பதே.

இரண்டு நாணயங்களுக்கு ஒரு துல்லியமான விடை உண்டு, சில்வெஸ்டரின் (Sylvester) சூத்திரம்: F(a₁, a₂) = a₁a₂ − a₁ − a₂. மூன்று அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால், வேலை என்பது F-க்கு வரம்பிடுவதே: நாணயங்களிலிருந்து கணக்கிடப்படும் ஒரு மதிப்பை F மிஞ்ச முடியாது என்று நிரூபிப்பது.

பிடிவாதமான ஒரு 2 என்ற காரணி

பால் எர்டோஷ் (Paul Erdős), ரொனால்ட் கிரஹாம் (Ronald Graham) ஆகியோர், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பிறப்பிகளுக்கு, நிரூபித்தனர்:

F ≤ 2aₙ₋₁⌊aₙ/n⌋ − aₙ

இங்கே aₙ மிகப் பெரிய மதிப்பு, aₙ₋₁ இரண்டாவது பெரியது, n மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை, ⌊ ⌋ என்பது கீழ்நோக்கி முழுமையாக்குதல். சில்வெஸ்டரின் சூத்திரத்தைப் போலவே, இதுவும் மிகப் பெரிய இரண்டு நாணயங்களை உள்ளடக்குகிறது.

மிக மோசமான நிலையையும் அவர்கள் மதிப்பிட்டனர்: n மதிப்புகள் அனைத்தும் அதிகபட்சம் t ஆக இருக்கும்போது சாத்தியமான மிகப் பெரிய F. அவர்களின் மதிப்பீடுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளி, ஏறக்குறைய 2 என்ற காரணி, Erdős Problem #433 எனப் பதிவுசெய்யப்பட்ட ஓர் அனுமானத்துக்கு (conjecture) வழிவகுத்தது. ழாக் டிக்ஸ்மியே (Jacques Dixmier) அதைத் தீர்த்தார்; எல்லாத் தொகுப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் ஓர் எளிய வரம்பையும் நிரூபித்தார்: F ≤ aₙ²/(n − 1). 2 என்ற காரணி மறைந்துவிட்டது, ஆனால் இரண்டாவது பெரிய நாணயமும் கூடவே மறைந்துவிட்டது.

மிகப் பெரிய இரண்டு நாணயங்களையும் வைத்துக்கொள்ளுதல்

செஜியாங் பல்கலைக்கழகத்தின் கணினி அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பக் கல்லூரியைச் (College of Computer Science and Technology) சேர்ந்த Lin Chen, Tingwei Hu, Yuchen Mao, Guochuan Zhang ஆகியோர் இரண்டையும் விரும்பினர்: 2 என்ற காரணி இல்லாமல், இரண்டாவது பெரிய நாணயத்தையும் வைத்துக்கொண்டு. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகள் கொண்ட எந்தத் தொகுப்புக்கும் செல்லுபடியாகும் அவர்களின் விடை:

F ≤ aₙ₋₁⌈aₙ/(n − 1)⌉ − aₙ − 1

இங்கே ⌈ ⌉ என்பது மேல்நோக்கி முழுமையாக்குதல். எர்டோஷ், கிரஹாம் வரம்புடன் ஒப்பிடுகையில், 2 என்ற காரணி மறைந்துவிட்டது; அதற்கு விலையாக, n-க்குப் பதிலாக n − 1-ஆல் வகுத்து மேல்நோக்கி முழுமையாக்க வேண்டியுள்ளது. டிக்ஸ்மியேவின் வரம்புடன் ஒப்பிடுகையில், இரண்டாவது பெரிய நாணயம் மிகப் பெரியதுடன் ஒப்பிடச் சிறியதாக இருக்கும்போது, புதிய வரம்பு கணிசமாகச் சிறியதாக இருக்கலாம்.

3, 4, 6 எடுத்துக்காட்டில், எர்டோஷ், கிரஹாம் வரம்பு 10 தருகிறது, டிக்ஸ்மியேவின் வரம்பு 18 தருகிறது, புதியது 4 × 3 − 6 − 1 = 5 தருகிறது, சரியாக உண்மையான மதிப்பு. இது வியப்பல்ல: இந்தத் தொகுப்பு, கீழே விவரிக்கப்படும், வரம்பைச் சரியாக எட்டுவதற்காகக் கட்டமைக்கப்பட்ட தீவிர நிலைகளின் குடும்பத்தைச் சேர்ந்தது; வழக்கமான தொகுப்புகளில் கட்டுரை எந்த ஒப்பீட்டையும் தரவில்லை.

மீதியைக் கொண்டு தொகைகளை வரிசைப்படுத்துதல்

நிரூபணம் எர்டோஷ், கிரஹாம் ஆகியோரின் வழியைப் பின்பற்றுகிறது. ஒவ்வொரு தொகையையும், மிகப் பெரிய நாணயமான aₙ-ஆல் வகுத்த பின் வரும் மீதியைக் கொண்டு வரிசைப்படுத்துங்கள். சிறிய நாணயங்களின் ஒரு கூட்டுத்தொகை ஒரு குறிப்பிட்ட மீதியை எட்டியதும், aₙ-இன் நகல்களைச் சேர்ப்பது அதே மீதி கொண்ட எல்லாப் பெரிய தொகைகளையும் எட்டுகிறது. ஒவ்வொரு மீதியையும் மலிவாக எட்ட முடியும் என்று காட்டுவதே பணி.

முக்கியக் கருவி க்னேசரின் தேற்றம் (Kneser’s theorem): கூட்டுத்தொகைகளின் ஒரு கணம் எவ்வளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும் என்பது பற்றியது. சுமார் aₙ/n நாணயங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் மீதிகளில் பாதிக்கும் மேலானவற்றை உள்ளடக்குகின்றன என்று காட்ட எர்டோஷும் கிரஹாமும் அதைப் பயன்படுத்தினர்; பின்னர் எல்லாவற்றையும் உள்ளடக்க இரட்டிப்பாக்கினர். இந்தக் கூட்டுத்தொகைகளில் உள்ள ஒவ்வொரு நாணயமும் அதிகபட்சம் aₙ₋₁ மதிப்புடையது; எனவே நாணயங்களின் எண்ணிக்கையை இரட்டிப்பாக்குவது செலவை இரட்டிப்பாக்குகிறது: அதனால்தான் 2 என்ற காரணி.

புதிய நிரூபணம் ⌈aₙ/(n − 1)⌉ நாணயங்களின் கூட்டுத்தொகைகளைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்தக் கூட்டுத்தொகைகள் சில மீதிகளைத் தவறவிடும்போது, தவறிய மீதிகள் தாறுமாறாகச் சிதறிக் கிடப்பதில்லை என்று க்னேசரின் தேற்றம் கூறுகிறது: அவை சீரான இடைவெளியில் அமைந்த மீதிகளின் முழுக் குடும்பங்களாக அமைகின்றன. எவ்வளவு அதிகக் குடும்பங்கள் விடுபடுகின்றனவோ, அவ்வளவு அதிகமாகச் சிறிய நாணயங்கள் எட்டப்படும் ஒவ்வொரு குடும்பத்துக்குள்ளும் நெருக்கியடிக்க வேண்டும்; எனவே அந்தக் குடும்பங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் சில சிறிய நாணயங்கள் உள்ளன, விடுபட்ட குடும்பங்களை எட்டத் தேவைப்படும் சில கூடுதல் நாணயங்களும் மலிவானவை. மொத்தம் ஒருபோதும் ⌈aₙ/(n − 1)⌉ × aₙ₋₁-ஐ மிஞ்சுவதில்லை.

அந்த முதல் படி, இறுதி “− 1” இல்லாமல் வரம்பைத் தருகிறது. கடைசி அலகு ஒரு தனி வாதத்திலிருந்து வருகிறது; அது, ஒரே ஒரு வழியில் மட்டுமே உருவாக்கக்கூடிய கூட்டுத்தொகைகள் பற்றிய ஷெர்க் (Scherk), கெம்பர்மன் (Kemperman) ஆகியோரின் ஒரு தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: எல்லைக்கோட்டுத் தொகையான aₙ₋₁⌈aₙ/(n − 1)⌉ − aₙ-ஐயே எப்போதும் செலுத்த முடியும் என்று அது காட்டுகிறது. நன்றியுரையின்படி, ஆசிரியர்கள் முதலில் பலவீனமான வரம்பை நிரூபித்தனர்; பின்னர் அதை ஒன்றால் குறைக்கும் வாதத்தைக் கண்டறிய GPT-6 உதவியது; வரம்பை மேலும் குறைக்க முடியாது என்ற நிரூபணத்திலும் ஆங்கிலத்தைத் திருத்துவதிலும் அது உதவியது. இறுதிக் கையெழுத்துப் படிக்குத் தாங்களே பொறுப்பேற்பதாக ஆசிரியர்கள் கூறுகின்றனர்.

வரம்பைச் சரியாக எட்டும் நிலைகள்

இந்த வரம்பைக் குறைக்க முடியாது: n ≥ 3 என்ற ஒவ்வொரு n-க்கும், F அதற்குச் சரியாகச் சமமாக இருக்கும் எண்ணற்ற தொகுப்புகளை ஆசிரியர்கள் கட்டமைக்கின்றனர். q ≥ 2 என்ற எந்த q-ஐயும், q, 2q, …, (n − 1)q என்ற மதிப்புகளையும், அவற்றுடன் (n − 2)q + 1-ஐயும் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். ஒன்றைத் தவிர எல்லாமே q-இன் மடங்குகள்; எனவே q மட்டும் செலுத்த முடியாத எதையும் அவை செலுத்துவதில்லை. அந்தத் தொகுப்பு q, (n − 2)q + 1 என்ற இரண்டு நாணயங்களைப் போல நடந்துகொள்கிறது; சில்வெஸ்டரின் சூத்திரம் புதிய வரம்புடன் சரியாகப் பொருந்தும் ஒரு F-ஐத் தருகிறது. n = 3, q = 3 எனக் கொண்டால், இந்தச் செய்முறை மேலே உள்ள 3, 4, 6 எடுத்துக்காட்டையே துல்லியமாகத் தருகிறது.

குறைவான நாணயங்கள், தாழ்வான உச்சவரம்பு

இந்த வரம்பை அடர்த்தியின் அடிப்படையிலும் படிக்கலாம். i சிறிய மதிப்புகளையும் மிகப் பெரியதையும் கொண்ட எந்தக் குறைக்கப்பட்ட தொகுப்புக்கும் அது பொருந்தும், அவற்றுக்கு இன்னும் பொதுவான காரணி இல்லாத வரை. நாணயங்களை நீக்குவது செலுத்துவதை மேலும் கடினமாக்க மட்டுமே முடியும்; எனவே குறைக்கப்பட்ட தொகுப்புக்கு நிரூபிக்கப்பட்ட உச்சவரம்பு முழுத் தொகுப்புக்கும் பொருந்தும். முடிவைக் கட்டுப்படுத்துவது ஏறக்குறைய aᵢ/i: முதல் i மதிப்புகள் 1 முதல் aᵢ வரையிலான எண்களை எவ்வளவு அடர்த்தியாக நிரப்புகின்றன என்பதன் தலைகீழ்: மிக அடர்த்தியான குழு வெல்கிறது. குறிப்பாக, எஞ்சிய நாணயங்களுக்கு இன்னும் எல்லாவற்றுக்கும் பொதுவான காரணி இல்லாத போதெல்லாம், இரண்டாவது பெரிய நாணயத்தை வெறுமனே ஒதுக்கி வைக்கலாம் என்று ஆசிரியர்கள் குறிப்பிடுகின்றனர்.

கட்டுரை முற்றிலும் கோட்பாட்டளவிலேயே உள்ளது: வழக்கமான நாணயத் தொகுப்புகளில் புதிய வரம்பு எவ்வளவு சிறியது என்பதற்கு அது எந்த எண்ணையும் தரவில்லை; அதன் கூர்மை மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நாணய மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.