ہر نقطے نوں ہر دوجے نال جوڑو: سب توں گھٹ کراسنگاں، ثابت

کاغذ دے اک ورقے اُتے پنج نقطے رکھو تے ہر جوڑے نوں اک خم دار لکیر نال جوڑو: کُل دس لکیراں۔ ایہہ جیویں چاہو مُڑ سکدیاں نیں، پر کوئی وی کسے تیجے نقطے وچوں نہیں لنگھ سکدی۔ ہر کراسنگ (crossing) توں بچن دی کوشش کرو، تے تسیں ناکام رہوو گے۔ پنج نقطیاں نال، گھٹو گھٹ 1 کراسنگ توں بچیا نہیں جا سکدا؛ چھ نال، گھٹو گھٹ 3؛ دس نال، گھٹو گھٹ 60۔

ریاضی دان اجیہی تصویر نوں مکمل گراف (complete graph) Kₙ دی ڈرائنگ آکھدے نیں — n نقطے، ہر جوڑا جُڑیا ہویا — تے سب توں گھٹ کراسنگاں جیہناں تیکر کوئی ڈرائنگ اپڑ سکدی اے، اوہناں نوں ایہدا کراسنگ نمبر (crossing number) آکھدے نیں۔ چیک ریپبلک دی چارلس یونیورسٹی (Charles University) دے مارٹن بالکو ایس سوال نوں «ٹوپولوجیکل گراف تھیوری (topological graph theory) دے سب توں مشہور مسئلیاں وچوں اک» آکھدے نیں۔

اک فنکار دی گنتی

1950 دی دہائی دے اخیر وچ، برطانوی فنکار انتھونی ہل (Anthony Hill) نے Kₙ دیاں اجیہیاں ڈرائنگاں بنائیاں جیہناں وچ ٹھیک

Z(n) = ¼ ⌊n/2⌋ ⌊(n − 1)/2⌋ ⌊(n − 2)/2⌋ ⌊(n − 3)/2⌋

کراسنگاں سن، جتھے ⌊ ⌋ دا مطلب اے تھلے ول گول کرنا۔ ایہہ اندازہ کہ کوئی ڈرائنگ ایہدے توں چنگا نہیں کر سکدی، سب توں پہلاں Guy نے چھاپیا، بعد وچ Harary تے Hill نے ایہدے اُتے گل کیتی، تے Erdős تے Guy نے ایہنوں مشہور کیتا۔ ایہنوں ہراری–ہل قیاس (Harary–Hill conjecture)، یا Guy دا قیاس، آکھیا جاندا اے۔

فارمولا چھیتی چھیتی اُتے چڑھدا اے:

4 نقطے یا ایہدے توں گھٹ: 0 کراسنگاں
5 نقطے: 1
7 نقطے: 9
10 نقطے: 60
14 نقطے: 315

ادھورے جواباں دے چھ دہاکے

نقطیاں دی ہر گنتی لئی ٹھیک Z(n) کراسنگاں والیاں ڈرائنگاں موجود سن؛ اوکھا کم ایہہ وکھاؤنا سی کہ کوئی وی ڈرائنگ ایہدے توں چنگا نہیں کردی۔

سٹھ توں ودھ ورھیاں تیکر، ایہہ صرف خاص قسم دیاں ڈرائنگاں لئی ثابت ہویا — مثال دے طور اُتے جدوں سارے نقطے اک سدھی لکیر اُتے ہون تے ہر خم دار لکیر اوہدے اک پاسے رکھی جاوے، یا جدوں نقطے اک گولے (sphere) اُتے ہون تے ہر لکیر سب توں چھوٹا راہ پھڑے۔ بالکو نے آپ، Fulek تے Kynčl نال رل کے، اجیہی اک قسم دا فیصلہ کیتا سی۔ 2021 تیکر، کمپیوٹراں نے 14 نقطیاں تیکر فارمولے دی تصدیق کر دتی سی۔ نقطیاں دیاں بہت وڈیاں گنتیاں لئی، سب توں چنگے عام نتیجیاں نے Z(n) دے گھٹو گھٹ 98.5%، فیر 98.99%، دی ضمانت دتی۔

اک ثبوت، فیر اک ودھ صاف ثبوت

2026 وچ، OpenAI نے نقطیاں دی ہر گنتی لئی اک ثبوت دا اعلان کیتا، جیہنوں بالکو دا مقالہ اک «OpenAI Math Release preprint» دے طور اُتے درج کردا اے تے مسئلے (theorem) دا سہرا ایہدے سر بنھدا اے۔ مقالہ ایہہ نہیں دسدا کہ اوہ ثبوت کیویں لبھیا گیا۔ بالکو دے لفظاں وچ، اصل ثبوت «مقابلتاً چھوٹا اے»، پر «سمجھن وچ کافی اوکھا»۔ اوہناں دا پری پرنٹ (preprint) اک سادہ کیتا ہویا روپ پیش کردا اے جیہدے لئی، اوہ لکھدے نیں، «صرف لکیری الجبرا تے گراف تھیوری دی بنیادی جانکاری چاہیدی اے»۔ اک ہور ریاضی دان، Gelasio Salazar، اک وکھری، تفصیلی وضاحت تیار کر رہے نیں۔

کراسنگاں دی تھاں عددی سر گننا

کیونکہ جانیاں پچھانیاں ڈرائنگاں پہلاں ای Z(n) تیکر اپڑ جاندیاں نیں، صرف تھلے والی حد (lower bound) نوں ثبوت دی لوڑ اے۔ ایہدے لئی چار قدم چاہیدے نیں۔

طاق گنتیاں کافی نیں۔ اک سب توں چنگی ڈرائنگ نوں اینج مُڑ بنایا جا سکدا اے کہ اکو نقطہ ونڈن والیاں لکیراں کدی اک دوجے نوں کراس نہ کرن؛ فیر ہر کراسنگ وچ 4 وکھرے نقطے شامل ہوندے نیں۔ 6 نقطیاں وچوں ہر اک نوں واری واری مٹاؤ: ہر بچی ہوئی 5 نقطیاں والی تصویر وچ گھٹو گھٹ 1 کراسنگ ہوندی اے، تے ہر کراسنگ 6 مٹاؤن وچوں ٹھیک 2 دے بعد بچی رہندی اے (جدوں وی ایہدے اپنے 4 نقطیاں وچوں کوئی مٹایا جاندا اے ایہہ غائب ہو جاندی اے، تے باقی 2 دے بعد بچی رہندی اے)۔ ایس لئی کراسنگاں دا دُگنا گھٹو گھٹ 6 اے: یعنی گھٹو گھٹ 3، جو Z(6) اے۔ ایہو گنتی ہر جفت گنتی لئی کم کردی اے۔
کثیر رقمیاں (polynomials) دا اک ٹبر۔ ہر نقطے نوں اوہدا اپنا عدد دیو۔ اک کراسنگ وچ دو لکیراں ہوندیاں نیں، یعنی چار نقطے، یعنی چار عدد۔ بالکو چار متغیراں (variables) والیاں کثیر رقمیاں ورتدے نیں، جو اینج چُنیاں گئیاں نیں کہ جدوں n طاق ہووے تے ٹبر وچ ٹھیک Z(n) آزاد عددی سر ہون — 7 نقطیاں لئی، 3 × 3 = 9۔
بہت گھٹ کراسنگاں تھاں چھڈ دیندیاں نیں۔ کسے کثیر رقمی نوں اک کراسنگ اُتے صفر ہوون لئی آکھنا اک مساوات (equation) اے۔ آزاد عددی سراں توں گھٹ مساواتاں ہوون تے، لکیری الجبرا ہمیشہ اک غیر صفر حل چھڈ دیندا اے۔ ایس لئی Z(n) توں گھٹ کراسنگاں والی ڈرائنگ نال اک اجیہی غیر صفر کثیر رقمی آوے گی جو اوہدیاں ساریاں کراسنگاں اُتے صفر ہووے؛ اوہناں وچوں سب توں نیویں درجے (degree) والی لؤ۔
مستوی سطح (plane) اَڑ جاندی اے۔ جیومیٹری اک کلاسیکی حقیقت راہیں اندر آؤندی اے: سطح وچ اک بند چھلا (loop) کسے دوجے نوں سجے توں کھبے ٹھیک اونی واری کراس کردا اے جِنی واری کھبے توں سجے۔ چنگی طرحاں چُنے گئے وزناں (weights) نال، ایہدے توں کثیر رقمی دیاں قیمتاں دے مربعاں دا اک جوڑ نکلدا اے، کجھ مثبت گنے ہوئے، کجھ منفی، جیہدا کُل صفر بندا اے۔ سارے مثبت حصے کراسنگاں اُتے بیٹھے نیں، جتھے کثیر رقمی صفر اے، ایس لئی منفی حصیاں نوں وی صفر ہونا پوے گا۔ چھلے والی حقیقت دی دوجی ورتوں کثیر رقمی نوں اک پکے جُز (factor) نال تقسیم ہون جوگا بنا دیندی اے؛ تقسیم کرن نال اوسے خاصیت والی اک گھٹ درجے دی غیر صفر کثیر رقمی ملدی اے، جو ناممکن اے، کیونکہ اسیں سب توں نیویں درجے والی لئی سی۔

علامتاں (signs) والی ایہہ دلیل بالکو دی وڈی تبدیلی اے: ایہہ اوس اصل دلیل دی تھاں لیندی اے جو «اک نان ڈیجنریٹ بائی لینیئر فارم (nondegenerate bilinear form) تے آرتھوگونل کمپلیمنٹس (orthogonal complements) نال جُڑی» سی۔ اوہ چھلے والی حقیقت نوں وی وکھرے طریقے نال ثابت کردے نیں تے ہر نقطے نوں ودھ سدھے طریقے نال وکھرا کردے نیں۔

ہور نیٹ ورک وی اکو واری حل

جواب Z(n) ای رہندا اے جے کراسنگاں دی تھاں، لکیراں دے اوہ جوڑے گنے جان جو اک دوجے نوں کراس کردے ای نیں، یا جو طاق واری کراس کردے نیں — بس شرط ایہہ اے کہ اکو نقطہ ونڈن والیاں لکیراں کتے ہور نہ ملن۔ پہلاں دیاں تخفیفاں (reductions) نال رل کے، ایہہ مسئلہ (theorem) اوہناں مکمل گرافاں لئی وی ٹھیک کراسنگ نمبر دیندا اے جیہناں وچوں کجھ کڑیاں (links) کڈھ دتیاں گئیاں ہون، مکمل گراف دیاں اوہناں نقلاں لئی جو اک راہ (path) دے نال نال یا اک جفت چکر (even cycle) دوالے زنجیر وانگ جُڑیاں ہون، تے فریکٹل (fractal) ورگے نیٹ ورکاں دے اک ٹبر لئی جیہنوں ودھائے گئے سیئرپنسکی گراف (extended Sierpiński graphs) آکھدے نیں۔

6 نقطیاں والے مکمل گراف وچوں صرف اک لکیر کڈھ دیو، تے ایہدی گھٹو گھٹ گنتی 3 کراسنگاں توں ڈِگ کے 2 رہ جاندی اے؛ 8 نقطیاں اُتے، 18 توں 15۔