ஒரு வண்ணப் புதிரை உடைக்கிறது AI

கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் ஒரு வலையமைப்பை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள் — கணிதவியலாளர்கள் இதை வரைபடம் (graph) என்கிறார்கள். இப்போது, ஒரு கோட்டால் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் ஒருபோதும் ஒரே நிறம் பெறாதபடி புள்ளிகளுக்கு வண்ணமிடுங்கள். இதற்குப் போதுமான மிகக் குறைந்த நிற எண்ணிக்கையே அந்த வரைபடத்தின் நிற எண் (chromatic number). 1977-இல் நிறுவப்பட்ட நான்கு வண்ணத் தேற்றம் ஒரு புகழ்பெற்ற சிறப்பு நிகழ்வு; அதன் தலைப்பே எல்லாவற்றையும் சொல்கிறது: “Every planar map is four colorable” (ஒவ்வொரு தள வரைபடத்தையும் நான்கு நிறங்களால் வண்ணமிட முடியும்).

ஹாட்விகரின் 1943 பந்தயம்

1943-இல் ஹாட்விகர் எல்லா வரைபடங்களுக்கும் ஒரு விரிவான விதியை முன்மொழிந்தார். புள்ளிகளையோ கோடுகளையோ நீக்கியும், இணைக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை ஒன்றாக இணைத்தும் ஒரு வரைபடத்தைச் சுருக்குங்கள். இதன் விளைவு மைனர் (minor) எனப்படுகிறது. இவ்வாறு பெறக்கூடிய மிகப் பெரிய முழு வரைபடத்தை (complete graph) — ஒவ்வொரு புள்ளியும் மற்ற ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் இணைந்திருக்கும் கொத்து — ஹாட்விகர் கவனித்து, தேவையான நிறங்களின் எண்ணிக்கை அந்தக் கொத்தின் அளவை ஒருபோதும் தாண்டாது என்று ஊகித்தார்.

ஆய்வுக்கட்டுரை இதை “வரைபடக் கோட்பாட்டின் மிகப் பழமையான, மிக அடிப்படையான சிக்கல்களில் ஒன்று” என்கிறது. இது சிறிய நிகழ்வுகளுக்கு மட்டுமே நிறுவப்பட்டுள்ளது: ஐந்து வரையிலான கொத்துகளுக்கு; அங்கே இது நான்கு வண்ணத் தேற்றத்துக்குச் சமமானதாகவோ அதற்குக் குறைக்கக்கூடியதாகவோ மாறுகிறது. ஆறிலிருந்து, இது திறந்த சிக்கல்.

ஒவ்வொரு மடக்கையாக நெருங்குதல்

துல்லியமான கூற்று எதிர்ப்பதால், ஆய்வாளர்கள் நிறங்களின் எண்ணிக்கையை, கூடுமானவரை மெதுவாக வளரும் கொத்து அளவின் ஏதோ ஒரு சார்பினால் வரம்பிட முயன்றனர். ஆய்வுக்கட்டுரை இந்த முன்னேற்றத்தை விவரிக்கிறது. பல தசாப்தங்களாக, மிகச் சிறந்த வரம்பு விகிதசமத்தைவிடச் சற்று வேகமாக வளர்ந்தது — ஒரு மடக்கையின் (logarithm) வர்க்கமூலத்தை உள்ளடக்கிய ஒரு காரணியால். சில ஆண்டுகளுக்கு முன், நோரின், போஸ்டில், சாங் இந்தத் தடையை உடைத்தனர். பின்னர் டெல்கூர், போஸ்டில் அதை மேலும் மேம்படுத்தி, மிக முக்கியமாக, ஓரளவு சிறிய வரைபடங்களைக் கையாண்டாலே போதும் என்று காட்டினர். லியூ, லுவோ கூடுதல் காரணியை மும்மடக்கை (triple logarithm) வரை கீழிறக்கினர்.

இயல்பான இறுதி இலக்கு நேரியல் ஹாட்விகர் ஊகம் (linear Hadwiger conjecture): கொத்து அளவின் ஒரு நிலையான மடங்கு எப்போதும் போதுமானது. மான்ட்ரியாலில் உள்ள மெக்கில் பல்கலைக்கழகத்தின் செர்கேய் நோரினும், ETH சூரிக்கின் ரஃபேல் ஷ்டைனரும் இப்போது நிறுவியதாகக் கூறுவது இதைத்தான்.

இயந்திரம் ஆற்றிய பங்கு

ஆசிரியர்கள் வெளிப்படையாகச் சொல்கின்றனர்: நிறுவலைக் கண்டுபிடித்தது, அவர்களின் வழிகாட்டுதல்களைப் பின்பற்றிய OpenAI-இன் GPT-6 Astra மாதிரி. விடுபட்ட துண்டு என்று அவர்கள் நம்பிய, மிக அடர்த்தியான வரைபடங்களின் நிகழ்வை நிறுவும்படி முதலில் அதைக் கேட்டனர். “ஓரிரு மணிநேரங்களும் கொஞ்சம் ஊக்கமும் மட்டுமே கொடுத்த பிறகு” அது வெற்றி பெற்றது என்று எழுதுகின்றனர். ஒரு சார்புநிலையை வெளிப்படையாக்கக் கேட்டபோது, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு வரையிலான வரைபடங்களை அது உள்ளடக்கியது — ஆனால் தேவையான வீச்சை முழுமையாக அல்ல. பின்னர் இடைவெளியை நிரப்ப ஒரு புதிய யோசனையைக் கேட்டனர்; அதுவே இறுதி நிறுவலின் “பூட்ஸ்ட்ராப்” (bootstrap) படியை உருவாக்கியது. சுருக்கங்கள் (contractions) பற்றிய ஒரு பரிந்துரையைத் தவிர, தங்களின் சொந்தக் குறிப்பிட்ட நிறுவல் யோசனைகளில் கிட்டத்தட்ட எதுவும் தப்பிப் பிழைக்கவில்லை என்கின்றனர்.

எழுத்து மனிதர்களுடையது. OpenAI-இன் மற்றொரு மாதிரி பிழைதிருத்தத்துக்கும் நூற்பட்டியலுக்கும் உதவியது. OpenAI-இன் Codex, முழு நிறுவலின் முறைசார்ந்த, இயந்திரத்தால் சரிபார்க்கக்கூடிய ஒரு வடிவத்தை Lean நிறுவல் உதவியில் உருவாக்கியதாகவும், அது AI எழுதிய ஒரு தொடக்க வரைவுடன் இணையத்தில் வெளியிடப்பட்டுள்ளதாகவும் ஆசிரியர்கள் தெரிவிக்கின்றனர். கணிதத்துக்கான முழுப் பொறுப்பையும் அவர்கள் ஏற்கின்றனர்.

நிறுவலின் உள்ளே

வாதத்துக்கு இரண்டு பாதிகள் உள்ளன:

1. சிறிய வரைபடங்கள், குறைந்த நிறங்கள். கொத்து வரம்பைவிட மிகப் பெரிதாக இல்லாத வரைபடங்களுக்கு, கொத்து அளவின் சுமார் நான்கு மடங்கு போதும் என்று ஆசிரியர்கள் காட்டுகின்றனர். தொடக்கப் புள்ளி ரீட், சேமூர் ஆகியோரின் 1998 முடிவு: வண்ணமிடலின் தளர்த்தப்பட்ட, “பின்ன” (fractional) வடிவம் ஏற்கனவே இரண்டு என்ற காரணியுடன் நேரியல் விதிக்குக் கீழ்ப்படிகிறது. புதிய ஆய்வு, வரைபடத்தில் சில கூடுதல் கோடுகளைச் சேர்த்தும், ஒரு துணைக் கட்டமைப்பில் மிகப் பெரிய பொருத்தங்களைக் (matchings) கண்டறிந்தும், பின்ன வண்ணமிடல்களை உண்மையான வண்ணமிடல்களாக மாற்றுகிறது.
2. ஒரு பூட்ஸ்ட்ராப். இரண்டாவது வாதம், ஒவ்வொரு படியிலும் அடுக்குக்குறியில் (exponent) நான்கு-மூன்றில் (4/3) என்ற காரணியால், உள்ளடக்கப்படும் வரைபட அளவுகளின் வீச்சை விரிவாக்குகிறது; அதற்கு விலை ஒரு பெரிய மாறிலி. பத்துப் படிகள் வீச்சை மூன்றில் ஒன்றிலிருந்து சுமார் 5.92 வரை கொண்டுசெல்கின்றன — டெல்கூர்-போஸ்டில் குறைப்புக்குத் தேவையான 5 என்ற வாசலைத் தாண்டி. இந்தப் பாதி, ஜார்ஃபாஷ் (Gyárfás) உருவாக்கிய ஒரு பழைய உத்தியைப் பயன்படுத்துகிறது; இந்தச் சிக்கலுக்கு அது ஒருபோதும் பயன்படுத்தப்பட்டதில்லை என்கின்றனர் ஆசிரியர்கள்.

அறியப்பட்ட கருவிகளிலிருந்து கட்டப்பட்டதாக ஆசிரியர்கள் நிறுவலை விவரிக்கின்றனர் — “ஏற்கனவே உள்ள முடிவுகளின் குவிவு உறைக்குள் (convex hull) அடங்கியது,” ஆனால் அதன் வெளிப்படையான விளிம்பில் அல்ல.

திறந்தே இருப்பவை

மாறிலி பிரம்மாண்டமானது: ஒரு தோராய மதிப்பீடு சுமார் 10¹⁰⁰ தருகிறது. அதை 10¹⁰-க்குக் கீழே கொண்டுவர இடம் இருப்பதாக ஆசிரியர்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால், எடுத்துக்காட்டாக 100-ஐ அடையப் புதிய யோசனைகள் தேவைப்படும் என்று நினைக்கின்றனர். ஹாட்விகரின் துல்லியமான ஊகம் தொடப்படவில்லை: “நாங்கள் முடிவெடுக்கவில்லை,” என்று எழுதுகின்றனர். ஆய்வுக்கட்டுரை ஒரு முன்அச்சு (preprint); 41 பக்கப் புதிய கணிதம் இனி மற்ற வல்லுநர்களின் கூர்ந்த ஆய்வை எதிர்கொள்ளும்.