22 ఏళ్ల సందేహం తర్వాత, సందేశాలను కలపడం వాటిని దారుల్లో పంపడాన్ని మించింది

కేబుళ్ల నెట్‌వర్క్‌ను ఊహించుకోండి, అందులో చాలా మంది పంపేవారు ఒక్కొక్కరూ తమ సొంత స్వీకర్తను చేరాలనుకుంటారు. సంప్రదాయ పద్ధతి రౌటింగ్: ప్రతి సందేశం ఒక పార్సెల్‌లా ఒకటి లేదా ఎక్కువ దారుల వెంట ప్రయాణిస్తుంది, ట్రాఫిక్‌ను ఏ నిష్పత్తిలోనైనా చాలా దారుల్లో పంచవచ్చు కూడా. నెట్‌వర్క్ కోడింగ్ మరో స్వేచ్ఛను జోడిస్తుంది: మధ్యలోని నోడ్‌లు తమకు వచ్చిన సందేశాలను కేవలం ముందుకు పంపడానికి బదులు వాటిని కలపవచ్చు — ఉదాహరణకు వాటిని కూడటం ద్వారా.

ప్రశ్న ఏమిటంటే, ఆ స్వేచ్ఛ ఎప్పుడైనా ఎక్కువ డేటాను వెళ్లనిస్తుందా అని. పత్రం దిశారహిత (అన్‌డైరెక్టెడ్) నెట్‌వర్క్‌లపై దృష్టి పెడుతుంది, ఇక్కడ ఒక కేబుల్ ఏ దిశలోనైనా డేటాను మోయగలదు కానీ రెండు దిశలూ ఒకే సామర్థ్యాన్ని పంచుకుంటాయి.

ఒకదాని తర్వాత ఒక సందర్భంలో నిజమైన ఊహ

2004లో లీ (Li), లీ (Li) ఈ పరిస్థితిలో భిన్నాంశ రౌటింగ్ (ఫ్రాక్షనల్ రౌటింగ్) కంటే కోడింగ్ ఏ ఆధిక్యాన్నీ ఇవ్వదని ఊహించారు; హార్వీ (Harvey), క్లైన్‌బర్గ్ (Kleinberg), రసాలా లెహ్మన్ (Rasala Lehman) స్వతంత్రంగా ఇదే ఊహను రూపొందించారు. తర్వాతి రెండు దశాబ్దాల్లో అది నెట్‌వర్క్‌ల ఒక తరగతి తర్వాత మరొక తరగతికి నిజమని తేలింది — రెండు సెషన్లు, కొన్ని సమతల నెట్‌వర్క్‌లు, గరిష్ఠంగా ఆరు కోడింగ్ నోడ్‌లు ఉన్న నెట్‌వర్క్‌లు, ఇంకా మరిన్ని — కానీ సాధారణంగా ఎప్పుడూ తేలలేదు. బాహ్య మెమరీలో పూర్ణాంకాలను క్రమబద్ధీకరించడానికి, గుణకార సర్క్యూట్లకు దిగువ హద్దుల వంటి సంక్లిష్టతా సిద్ధాంతంలోని ఇతర ఫలితాలను దాన్ని ఊహించుకుని కూడా నిరూపించారు.

తెలిసిన సిద్ధాంతం ఇప్పటికే పణంలో ఉన్నదాన్ని పరిమితం చేసింది: కోడింగ్ రౌటింగ్‌ను గరిష్ఠంగా ఒక సంవర్గమాన (లాగరిథమిక్) కారకం మేరకు మాత్రమే మించగలదు. బ్రేవర్‌మన్ (Braverman), గర్గ్ (Garg), ష్వార్ట్జ్‌మన్ (Schvartzman) 2017 ఫలితం, కచ్చితమైన కోడింగ్ ఆధిక్యం ఉన్న ఒక్క నెట్‌వర్క్ దొరికినా దాన్ని చాలా పెద్ద అంతరంగా పెంచవచ్చని చూపింది. అంతా ఒక్క పరిమిత ఉదాహరణను కనుగొనడం మీదికి వచ్చింది.

కూడిక చాలు

అనుబంధం ప్రాథమిక ఉపకరణాన్ని ఇస్తుంది, కలపడం ఎందుకు సహాయపడగలదో చూపుతుంది. ఒక కేంద్రం v చుట్టూ చాలా మూలాలను, వాటి స్వీకర్తలను మరో కేంద్రం w చుట్టూ ఉంచి, v, w లను ఒక కేబుల్‌తో కలపండి. ప్రతి మూలానికి ఇతర స్వీకర్తలకు వెళ్లే చిన్న పక్క దారులు కూడా ఉంటాయి. మూడు రౌండ్లలో, మధ్య కేబుల్ అన్ని సందేశాల మొత్తాన్ని మోస్తుంది; ప్రతి స్వీకర్త ఆ మొత్తాన్ని, పక్క దారుల నుంచి ఇతర సందేశాలను అందుకుని, తీసివేత ద్వారా తన సందేశాన్ని తిరిగి పొందుతాడు. మధ్య కేబుల్ లేకపోతే, ప్రతి మూలం తన స్వీకర్త నుంచి ఐదు హాప్‌ల దూరంలో ఉంటుంది.

హౌప్లర్ (Haeupler), వైట్స్ (Wajc), జుజిచ్ (Zuzic) ల గత పని నుంచి వచ్చిన ఆ ఉపకరణం కోడింగ్‌ను వేగవంతం చేస్తుంది, కానీ అది ఒక్కటే ఎక్కువ మోయగలిగేలా చేయదు: పొడవైన దారి కూడా అధిక రేటు పైప్‌లైన్‌ను నడపగలదు.

నెట్‌వర్క్‌గా మారిన సర్క్యూట్

టొరంటో విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన షిన్‌డాన్ ఝాంగ్ (Xindan Zhang), బావోచున్ లీ (Baochun Li), సింగ్వా విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన జోంగ్‌పెంగ్ లీ (Zongpeng Li) తప్పిపోయిన అడుగును కనుగొన్నారు. వారు ఒక చిన్న కోడ్‌ను తిరగదోడగల గణనగా మారుస్తారు — తిరగదోడగల పూర్ణాంక కూడికల సర్క్యూట్, ఇది గణిస్తుంది, ఫలితాన్ని నకలు చేస్తుంది, తర్వాత తన మధ్యంతర పనిని రద్దు చేస్తుంది. తర్వాత వారు ఒక కొత్త నెట్‌వర్క్‌ను నిర్మిస్తారు, దాని భౌతిక కేబుళ్లు ఆ సర్క్యూట్ తీగలే, గణనలోని ప్రతి రిజిస్టర్‌కూ, చిత్తు పని రిజిస్టర్లతో సహా, దాని సొంత పంపేవారు–స్వీకర్త డిమాండ్‌ను ఇస్తారు.

తీగల వెంట “సమయం” యొక్క జాగ్రత్తైన లెక్క మిగతా పని చేస్తుంది. అన్ని తీగలపై కూడితే, పొడవులు డిమాండ్లు దాటాల్సిన కనిష్ఠ దూరాలకు సరిగ్గా సరిపోతాయి. కానీ నిర్దేశించిన డిమాండ్లు రెండు అదనపు యూనిట్లు ఖర్చయ్యే కొన్ని గేట్లను తప్పించుకోలేవు. కాబట్టి రౌటింగ్ పూర్తి రేటుకు కచ్చితంగా తక్కువ పడాలి, కాగా కోడ్ ప్రతి కేబుల్‌ను సరిగ్గా ఒక్కసారి వాడుతుంది, చాలా బ్లాకులపై పైప్‌లైన్ చేస్తే ఒకటి రేటుకు చేరువవుతుంది.

ఏం నిరూపితమైంది

• ఒక పరిమిత అనుసంధానిత నెట్‌వర్క్, ఇందులో ప్రతి నోడ్ గరిష్ఠంగా మూడు ఇతర నోడ్‌లతో కలిసి ఉంటుంది, ప్రతి కేబుల్‌కు యూనిట్ సామర్థ్యం ఉంటుంది, దానిపై ఒక సరళమైన ద్విమాన రేఖీయ కోడ్ సాధ్యమైన అత్యుత్తమ భిన్నాంశ రౌటింగ్‌ను మించుతుంది. 2004 ఊహ తప్పు.
• అదే పూర్ణాంక నిర్మాణం ప్రతి పరిమిత క్షేత్రం (ఫీల్డ్), ప్రతి అల్పం కాని పరిమిత ఏబీలియన్ సమూహం పై ఒకేసారి పనిచేస్తుంది.
• నకళ్లను పదేపదే కలపడం ద్వారా, రచయితలు నెట్‌వర్క్‌ల అనంత కుటుంబాలను నిర్మిస్తారు, ఇక్కడ కోడింగ్ పూర్తి రేటుకు చేరువవుతుంది, రౌటింగ్ 1/log n యొక్క ఒక ఘాతంలా పడిపోతుంది — ఒక పాలీలాగరిథమిక్ ఆధిక్యం.

పత్రం తన ప్రతి-ఉదాహరణలోని నోడ్‌ల సంఖ్యను ఇవ్వలేదు. దాని నిర్మాణ దిమ్మె ఒక్కటే 13,122 రౌండ్లు సాగే కోడ్.

యంత్రం తనిఖీ చేసింది

పరిమిత ప్రతి-ఉదాహరణ, కుటుంబ సిద్ధాంతం రెండూ Lean నిరూపణ సహాయకంలో లాంఛనప్రాయంగా రూపొందించారు. రచయితల ప్రకారం, 2,472 ప్రకటనలు, 1,755 సిద్ధాంతాల తనిఖీ నిరూపణలు Lean యొక్క మూడు ప్రామాణిక స్వయంసిద్ధాలను మాత్రమే వాడతాయని, అసంపూర్ణ నిరూపణలేవీ లేవని చూపుతుంది; కొత్త వాతావరణంలో స్వతంత్రంగా మళ్లీ చేసిన తనిఖీ కూడా విజయవంతమైంది, అయితే అదే Lean కెర్నల్‌తో.

ఇంకా తెరిచి ఉన్నవి

రచయితలు మూడు ప్రశ్నలను జాబితా చేస్తారు: వారి పరిమిత ఉదాహరణపై ఆధిక్యం యొక్క నిజమైన పరిమాణం, తెలిసిన సంవర్గమాన పై పరిమితిని నిజంగా చేరుకుంటారా, ఒక చిన్న ప్రతి-ఉదాహరణ ఉందా. వారి చివరి వాక్యం పరిస్థితిని సంగ్రహిస్తుంది: “దిశారహిత నెట్‌వర్క్‌లలో కోడింగ్ నిజంగానే సహాయపడుతుందని తేలింది; అది ఎంత సహాయపడగలదో ఇంకా చూడాలి.”

AI వినియోగం ప్రకటించారు. OpenAI కి చెందిన GPT-6 Astra నిరూపణలను, Lean కోడ్‌ను అభివృద్ధి చేయడంలో సహాయపడిందని ఒక అధఃసూచిక పేర్కొంటుంది.