পাঁচটি বস্তু, সীমিত সংখ্যক নিখুঁত নাচ

কল্পনা করুন, কয়েকটি নক্ষত্র বা গ্রহ এত নিখুঁতভাবে সাজানো যে পুরো দলটি আকৃতি না বদলে একটি অনমনীয় বস্তুর মতো ঘুরতে পারে। এর জন্য প্রতিটি বস্তুর ওপর মহাকর্ষের টানকে ঠিক দলটির ভরকেন্দ্রের দিকে মুখ করতে হবে, আর তার জোর হতে হবে ভরকেন্দ্র থেকে বস্তুটির দূরত্বের সমানুপাতিক। এমন বিন্যাসকে বলা হয় কেন্দ্রীয় বিন্যাস (central configuration)। এগুলো হলো n-বস্তু সমস্যার সেই বিশেষ সমাধানগুলোর আকৃতি, যেখানে বস্তুরা একই আপেক্ষিক নকশা বজায় রাখে — অনমনীয়ভাবে ঘোরা আপেক্ষিক সাম্যাবস্থাগুলোও (relative equilibria) এর অন্তর্ভুক্ত।

কোনো নকশা কাজ করলে তার ঘোরানো, বড় করা বা সরানো যেকোনো প্রতিলিপিও কাজ করে, তাই গণিতবিদেরা এগুলো গোনেন “সদৃশতা পর্যন্ত” (up to similarity)।

স্মেলের ষষ্ঠ সমস্যা

প্রশ্নটি বলা সহজ: ধনাত্মক ভর যেভাবেই বেছে নেওয়া হোক, কেন্দ্রীয় বিন্যাসের সংখ্যা কি সীমিত? গণিতবিদ স্মেলের (Smale) তৈরি অমীমাংসিত সমস্যার তালিকায় এটি ষষ্ঠ সমস্যা।

গবেষণাপত্র অনুযায়ী অবস্থা ছিল এমন:

তিনটি বস্তু: ঠিক পাঁচটি — লাগ্রাঞ্জের দুটি সমবাহু ত্রিভুজ আর অয়লারের তিনটি সরলরেখা।
চারটি বস্তু: হ্যাম্পটন ও মোকেল সব ধনাত্মক ভরের জন্য সসীমতা প্রমাণ করেছিলেন।
সমতলে পাঁচটি বস্তু: আলবুই ও কালোশিন ২০১২ সালে সসীমতা প্রমাণ করেন, তবে কেবল একটি ব্যতিক্রমী সেটের বাইরের ভরের জন্য — বহুপদী সমীকরণে সংজ্ঞায়িত ভর-সমাবেশের একটি সরু পরিবার, যেখানে তাঁদের যুক্তি ভেঙে পড়েছিল।

ব্যতিক্রমী সেটের দরজা বন্ধ

তেজস্বী সিং তোমর সেই ব্যতিক্রমী সেটটি সরিয়ে দিয়েছেন। মূল উপপাদ্য: পাঁচটি ধনাত্মক ভরের প্রতিটি পছন্দের জন্য, সমতলীয় পাঁচ-বস্তু সমস্যার সদৃশতা পর্যন্ত সীমিত সংখ্যক কেন্দ্রীয় বিন্যাস আছে।

কৌশলটি আলবুই ও কালোশিনকে অনুসরণ করে। বিন্যাস অসীম হলে, সমীকরণগুলোকে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করলে তারা সমাধানের একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা তৈরি করত। সেই বক্ররেখা ধরে “অসীমে” গেলে বস্তুগুলোর মধ্যকার দূরত্বকে এমনভাবে আচরণ করতে হয় যাতে তারা একটি নিখুঁত ভারসাম্যে পরস্পরকে কাটাকাটি করে। বস্তুগুলো আলবুই ও কালোশিনের চিহ্নিত ষোলোটি সীমান্ত-চিত্রের একটির দিকে এগোয়, আর প্রতিটি চিত্র ভরের ওপর শর্ত আরোপ করে।

নতুন কাজটি প্রতিটি ধনাত্মক ভরের জন্য এই শর্তগুলোকে নিখুঁত করে এবং ঝামেলার ক্ষেত্রগুলোকে একে একে বাতিল করে:

যে বিন্যাসে চারটি বস্তু একটি ঘন গুচ্ছ গড়ে আর পঞ্চমটি তার দিকে এগোয়, সেগুলো বাদ দেওয়া হয় স্থিতিশক্তিকে — যা বক্ররেখা বরাবর স্থির থাকে — ক্রমশ উচ্চতর ক্রম পর্যন্ত বিস্তৃত করে; ধনাত্মক ভরের জন্য ফলাফল-শর্তগুলো পরস্পরবিরোধী;
আরও দুটি চিত্র কখনো ঘটে না বলে দেখানো হয়েছে;
বাকি সবকিছুর জন্য লেখক নির্ভুল কম্পিউটার বীজগণিত দিয়ে সব সংগত ভর-শর্ত বর্ণনা করেছেন — ২,২০৬টি বীজগাণিতিক ব্যবস্থা — এবং প্রতিটির জন্য একটি সাংখ্যিক সনদ (certificate) তৈরি করেছেন: মূলদ সংখ্যার একটি তালিকা, যার বৈশিষ্ট্য নির্ভুল পাটিগণিতে যাচাই করলে প্রমাণ হয় যে ভারসাম্যটি অসম্ভব।

ঋণাত্মক ভরের পাতা ফাঁদ

এমন একটি বাধা আছে যা বিশুদ্ধ বীজগণিত এড়াতে পারে না। আরেক গণিতবিদ রবার্টস (1, 1, 1, 1, −¼) ভরের জন্য — যার একটি ভর ঋণাত্মক — অসীম সংখ্যক কেন্দ্রীয় বিন্যাস পেয়েছিলেন। কিছু চিহ্ন উল্টালে তা (4, 4, 4, 4, 1) ভরের জন্য জটিলীকৃত সমীকরণের অসীম সমাধানে পরিণত হয়। এগুলো বাস্তব বিন্যাস নয়, কিন্তু যে যুক্তি কেবল জটিল সমীকরণ দেখে, সে এদের আলাদা করতে পারে না।

তাই ওই ভরগুলোতে, এবং সংশ্লিষ্ট অনুপাত (1, 1, 4, 4, 4)-এ, লেখক বাস্তব বিন্যাসগুলো সরাসরি গুনেছেন, নিশ্চিত ব্যবধান-পাটিগণিত (interval arithmetic) ব্যবহারকারী একটি কম্পিউটার অনুসন্ধান দিয়ে:

(1, 4, 4, 4, 4) ভরের জন্য: ঘূর্ণন ও মাপ-পরিবর্তন পর্যন্ত ৩০৬টি বিন্যাস — ৬০টি একটি সরলরেখায়, ২৪টি একটি উত্তল পঞ্চভুজ গড়ে, বাকিগুলোতে এক বা দুটি বস্তু ভেতরে;
(1, 1, 4, 4, 4)-এর জন্য: ২৯৪টি।

সরলরেখার ৬০টি মোল্টনের আগের একটি গণনার সঙ্গে মিলে যায়।

যন্ত্রে যাচাই

এত গণনার ওপর দাঁড়ানো প্রমাণের জন্য দরকার জোরালো যাচাই। প্রতিটি সনদ গবেষণাপত্রের সংজ্ঞা থেকে লেখা একটি আলাদা প্রোগ্রাম দিয়ে আবার পরীক্ষা করা হয়েছে। সবচেয়ে বড় কথা, উপপাদ্যটি Lean 4 প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্টে প্রমাণিত — এটি এমন একটি প্রোগ্রাম যা প্রতিটি যৌক্তিক ধাপ পরীক্ষা করে। আনুষ্ঠানিক প্রমাণটি আলবুই ও কালোশিনের ফলাফলও ধরে নেয় না: যা দরকার তা নিজেই আবার নির্ণয় করে, আর অনুসন্ধান করে তাঁদের নিয়ম মানা ১,৩৭৬টি লেবেলযুক্ত চিত্র খুঁজে পায়। Lean প্রমাণের আরও দুটি স্বাধীন পরীক্ষকও এটি গ্রহণ করেছে। শূন্য থেকে এটি তৈরি করতে প্রায় ৮৬০ CPU-ঘণ্টা লাগে।

গবেষণাপত্রটি শেষ হয় একটি ছোট বিবৃতিতে: ফলাফল খুঁজে বের করা ও প্রমাণ করা, প্রোগ্রাম ও Lean আনুষ্ঠানিকীকরণ লেখা, এবং লেখার খসড়া তৈরিতে জেনারেটিভ AI টুল ব্যবহার করা হয়েছে। টুলগুলোর নাম বলা হয়নি।

এটি কী বলে আর কী বলে না

ফলাফলটি সমতলে পাঁচটি বস্তু নিয়ে। এটি প্রমাণ করে যে ধনাত্মক ভরের প্রতিটি সমষ্টির জন্য বিন্যাসের সংখ্যা সীমিত, তবে হুবহু গণনা দেয় কেবল অধ্যয়ন করা অল্প কয়েকটি ভর-অনুপাতে।