ஐந்து பொருள்கள், வரம்புக்குட்பட்ட எண்ணிக்கையில் கச்சிதமான நடனங்கள்

சில விண்மீன்கள் அல்லது கோள்கள், முழுக் குழுவும் வடிவம் மாறாமல் ஒரு கடினப் பொருள் போலச் சுழலும் அளவுக்குத் துல்லியமாக அமைக்கப்பட்டிருப்பதாகக் கற்பனை செய்யுங்கள். அது நிகழ, ஒவ்வொரு பொருளின் மீதான ஈர்ப்பு இழுவை சரியாகக் குழுவின் நிறை மையத்தை நோக்கி இருக்க வேண்டும்; அதன் வலிமை அதிலிருந்து உள்ள தூரத்துக்கு விகிதசமமாக இருக்க வேண்டும். இத்தகைய அமைப்புகள் மைய அமைவுகள் (central configurations) எனப்படுகின்றன. பொருள்கள் ஒரே சார்பு அமைப்பைத் தக்கவைத்துக்கொள்ளும் n-பொருள் பிரச்சினையின் (n-body problem) சிறப்புத் தீர்வுகளின் வடிவங்கள் இவை; கடினமாகச் சுழலும் சார்பு சமநிலைகளும் (relative equilibria) இதில் அடங்கும்.

ஓர் அமைப்பு பொருந்தினால், அதைச் சுழற்றிய, பெரிதாக்கிய அல்லது நகர்த்திய எந்த நகலும் பொருந்தும்; எனவே கணிதவியலாளர்கள் அவற்றை ‘ஒத்த தன்மை வரை’ (up to similarity) எண்ணுகின்றனர்.

ஸ்மேலின் ஆறாவது பிரச்சினை

கேள்வியைச் சொல்வது எளிது: நேர்ம நிறைகளின் எந்தத் தேர்வுக்கும், மைய அமைவுகளின் எண்ணிக்கை வரம்புக்குட்பட்டதா? கணிதவியலாளர் ஸ்மேல் (Smale) தொகுத்த தீர்க்கப்படாத பிரச்சினைகளின் பட்டியலில் இது ஆறாவது.

கட்டுரையின்படி, நிலைமை இப்படி இருந்தது:

• மூன்று பொருள்கள்: சரியாக ஐந்து — லக்ராஞ்சின் இரண்டு சமபக்க முக்கோணங்களும், ஆய்லரின் மூன்று நேர்கோட்டு அமைப்புகளும்.
• நான்கு பொருள்கள்: அனைத்து நேர்ம நிறைகளுக்கும் வரம்புத்தன்மையை ஹாம்ப்டனும் மோக்கெலும் நிரூபித்தனர்.
• ஒரு தளத்தில் ஐந்து பொருள்கள்: ஆல்புவாவும் கலோஷினும் 2012-இல் வரம்புத்தன்மையை நிரூபித்தனர், ஆனால் ஒரு விதிவிலக்குத் தொகுப்புக்கு வெளியே உள்ள நிறைகளுக்கு மட்டுமே — பல்லுறுப்புக்கோவைச் (polynomial) சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட, அவர்களின் வாதம் தோற்றுப்போன, நிறைச் சேர்க்கைகளின் ஒரு மெல்லிய குடும்பம்.

விதிவிலக்குத் தொகுப்பை மூடுதல்

தேஜஸ்வி சிங் தோமர் அந்த விதிவிலக்குத் தொகுப்பை நீக்குகிறார். முக்கியத் தேற்றம்: ஐந்து நேர்ம நிறைகளின் ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும், தள ஐந்து-பொருள் பிரச்சினைக்கு ஒத்த தன்மை வரை வரம்புக்குட்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மைய அமைவுகளே உள்ளன.

உத்தி ஆல்புவா–கலோஷினைப் பின்பற்றுகிறது. எண்ணற்ற அமைவுகள் இருந்தால், சமன்பாடுகள் கலப்பெண்களுக்கு (complex numbers) விரிவாக்கப்படும்போது அவை தீர்வுகளின் ஒரு தொடர் வளைவை உருவாக்கும். அந்த வளைவை ‘முடிவிலி வரை’ பின்தொடர்ந்தால், பொருள்களுக்கு இடையிலான தூரங்கள் ஒரு துல்லியமான சமநிலையில் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்யும் விதங்களில் நடந்துகொள்ள வேண்டும். ஆல்புவாவும் கலோஷினும் அடையாளம் கண்ட பதினாறு எல்லை வரைபடங்களில் (limiting diagrams) ஒன்றைப் பொருள்கள் நெருங்குகின்றன; ஒவ்வொன்றும் நிறைகள் மீது நிபந்தனைகளை விதிக்கிறது.

புதிய பணி இந்த நிபந்தனைகளை ஒவ்வொரு நேர்ம நிறைக்கும் கூர்மையாக்கி, சிக்கலான நிகழ்வுகளை ஒவ்வொன்றாக விலக்குகிறது:

• நான்கு பொருள்கள் நெருக்கமான கொத்தாக அமைந்து ஐந்தாவது அதை நெருங்கும் அமைவுகள், வளைவு முழுவதும் மாறாமல் இருக்கும் நிலை ஆற்றலை (potential energy) மேலும் மேலும் உயர் வரிசை வரை விரிப்பதன் மூலம் விலக்கப்படுகின்றன; நேர்ம நிறைகளுக்கு, விளையும் நிபந்தனைகள் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படுகின்றன;
• மேலும் இரண்டு வரைபடங்கள் ஒருபோதும் நிகழ்வதில்லை என்று காட்டப்படுகிறது;
• மீதமுள்ள அனைத்துக்கும், ஒத்துப்போகும் எல்லா நிறை நிபந்தனைகளையும் ஆசிரியர் துல்லியக் கணினி இயற்கணிதம் மூலம் விவரிக்கிறார் — 2,206 இயற்கணித அமைப்புகள் — ஒவ்வொன்றுக்கும் ஓர் எண்ணியல் சான்றிதழை (certificate) உருவாக்குகிறார்: துல்லியக் கணிதத்தில் சரிபார்க்கப்படும் பண்புகளால் சமநிலை சாத்தியமற்றது என்பதை நிரூபிக்கும் விகிதமுறு எண்களின் பட்டியல்.

எதிர்ம நிறைகள் விரித்த பொறி

தூய இயற்கணிதத்தால் தவிர்க்க முடியாத ஒரு சிக்கல் உள்ளது. இன்னொரு கணிதவியலாளரான ராபர்ட்ஸ், ஒரு நிறை எதிர்மமாக உள்ள (1, 1, 1, 1, −¼) நிறைகளுக்கு எண்ணற்ற மைய அமைவுகளைக் கண்டறிந்திருந்தார். சில குறிகளை மாற்றினால், அது (4, 4, 4, 4, 1) நிறைகளுக்குக் கலப்பெண் சமன்பாடுகளின் எண்ணற்ற தீர்வுகளாக மாறுகிறது. அவை உண்மையான அமைவுகள் அல்ல; ஆனால் கலப்பெண் சமன்பாடுகளை மட்டுமே பார்க்கும் ஒரு வாதத்தால் அவற்றை வேறுபடுத்த முடியாது.

எனவே அந்த நிறைகளிலும், தொடர்புடைய (1, 1, 4, 4, 4) விகிதத்திலும், உத்தரவாதமுள்ள இடைவெளிக் கணிதத்தை (interval arithmetic) பயன்படுத்தும் கணினித் தேடல் மூலம் ஆசிரியர் உண்மையான அமைவுகளை நேரடியாக எண்ணுகிறார்:

• (1, 4, 4, 4, 4) நிறைகளுக்கு: சுழற்சி, அளவு மாற்றம் வரை 306 அமைவுகள் — 60 நேர்கோட்டில், 24 குவிந்த (convex) ஐங்கோணமாக, மீதமுள்ளவை உள்ளே ஒன்று அல்லது இரண்டு பொருள்களுடன்;
• (1, 1, 4, 4, 4)-க்கு: 294.

நேர்கோட்டு 60 அமைவுகள், மோல்டன் முன்பு செய்த ஓர் எண்ணிக்கையுடன் பொருந்துகின்றன.

இயந்திரம் சரிபார்த்தது

இத்தனை கணக்கீடுகளைச் சார்ந்த நிரூபணத்துக்கு வலுவான சரிபார்ப்பு தேவை. ஒவ்வொரு சான்றிதழும், கட்டுரையின் வரையறைகளிலிருந்து எழுதப்பட்ட ஒரு தனி நிரலால் மீண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டது. எல்லாவற்றுக்கும் மேலாக, ஒவ்வொரு தர்க்கப் படியையும் சரிபார்க்கும் நிரலான Lean 4 நிரூபண உதவியில் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. முறைசார் நிரூபணம் ஆல்புவா–கலோஷின் முடிவுகளைக்கூட அனுமானிக்கவில்லை: தனக்குத் தேவையானதை மீண்டும் வருவிக்கிறது; அவர்களின் விதிகளை நிறைவு செய்யும் 1,376 குறியிடப்பட்ட வரைபடங்களைத் தேடல் மூலம் கண்டறிகிறது. Lean நிரூபணங்களின் மேலும் இரண்டு சுயாதீனச் சரிபார்ப்பிகளும் அதை ஏற்கின்றன. அதைப் புதிதாகக் கட்டமைக்கச் சுமார் 860 CPU-மணிநேரம் ஆகிறது.

கட்டுரை ஒரு சுருக்கமான அறிக்கையுடன் முடிகிறது: முடிவுகளைக் கண்டறிந்து நிரூபிக்கவும், நிரல்களையும் Lean முறைப்படுத்தலையும் எழுதவும், உரையின் வரைவைத் தயாரிக்கவும் உருவாக்க AI (generative AI) கருவிகள் பயன்படுத்தப்பட்டன. கருவிகளின் பெயர்கள் குறிப்பிடப்படவில்லை.

அது சொல்வதும் சொல்லாததும்

முடிவு ஒரு தளத்தில் உள்ள ஐந்து பொருள்கள் பற்றியது. நேர்ம நிறைகளின் ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் அமைவுகளின் எண்ணிக்கை வரம்புக்குட்பட்டது என்று அது நிரூபிக்கிறது; ஆனால் துல்லிய எண்ணிக்கைகளை ஆய்வு செய்யப்பட்ட சில நிறை விகிதங்களில் மட்டுமே தருகிறது.