پنج جسم، مکمل ناچ دی گنتی محدود

سوچو پئی کجھ تارے یا سیارے انے ٹھیک ٹھیک رکھے گئے نیں پئی سارا ٹولا اک سخت شے وانگ گھم سکدا اے، شکل بدلے بنا۔ ایہدے لئی ہر جسم اُتے کشش ثقل دی کھچ ٹھیک ٹولے دے کمیت دے مرکز (centre of mass) ول ہونی چاہیدی اے، تے اوہدا زور اوس مرکز توں جسم دے فاصلے دے حساب نال۔ اجیہیاں ترتیباں نوں مرکزی ترتیباں (central configurations) آکھیا جاندا اے۔ ایہہ n-جسمی مسئلے (n-body problem) دے اوہناں خاص حلاں دیاں شکلاں نیں جنہاں وچ جسم آپس وچ اوہو ای نمونہ رکھدے نیں، اوہناں نسبتی توازناں (relative equilibria) سمیت جو سخت طرح گھمدے نیں۔

جے اک نمونہ کم کردا اے، تے اوہدی ہر گھمائی، وڈی کیتی یا سرکائی ہوئی نقل وی کم کردی اے، ایس لئی ریاضی دان ایہناں نوں «مماثلت تیک» (up to similarity) گندے نیں۔

سمیل دا چھیواں مسئلہ

سوال کہنا سوکھا اے: مثبت کمیتاں دی ہر چون لئی، کیہ مرکزی ترتیباں دی گنتی محدود اے؟ ایہہ ریاضی دان سمیل (Smale) دی بنائی کھلے مسئلیاں دی لسٹ دا چھیواں مسئلہ اے۔

مقالے مطابق گل ایتھے کھلوتی سی:

تن جسم: ٹھیک پنج — لاگرانج دیاں دو برابر بازواں والیاں تکونیاں تے اویلر دیاں تن سدھیاں لکیراں۔
چار جسم: ہیمپٹن تے موئیکل نے سارے مثبت کمیتاں لئی محدودیت ثابت کیتی۔
اک سطح وچ پنج جسم: البوئی تے کالوشن نے 2012 وچ محدودیت ثابت کیتی، پر صرف اک خاص استثنائی سیٹ توں باہر دیاں کمیتاں لئی — کمیتاں دے جوڑاں دا اک پتلا ٹبر جو کثیر رقمی (polynomial) مساواتاں نال بیان ہوندا اے، جتھے اوہناں دی دلیل ٹٹ گئی سی۔

استثنائی سیٹ نوں بند کرنا

تیجسوی سنگھ تومر اوس استثنائی سیٹ نوں ہٹا دیندا اے۔ مکھ تھیورم: پنج مثبت کمیتاں دی ہر چون لئی، سطحی پنج-جسمی مسئلے دیاں مماثلت تیک مرکزی ترتیباں محدود نیں۔

حکمت عملی البوئی تے کالوشن دے پچھے چلدی اے۔ جے ترتیباں لامحدود ہوندیاں، تے مساواتاں نوں مخلوط (complex) عدداں تیک ودھان نال اوہ حلاں دی اک لگاتار وکر بناؤندیاں۔ ایس وکر نوں «لامحدود ول» ٹُریے تے جسماں وچکار فاصلیاں نوں اجیہے طریقیاں نال ورتنا پیندا اے جو اک پکے توازن وچ اک دوجے نوں مکا دین۔ جسم البوئی تے کالوشن دے لبھے سولہ حدی نقشیاں (limiting diagrams) وچوں کسے اک ول جاندے نیں، تے ہر اک کمیتاں اُتے شرطاں لاؤندا اے۔

نواں کم ایہناں شرطاں نوں ہر مثبت کمیت لئی تکھا کردا اے، تے اوکھیاں صورتاں نوں اک اک کر کے رد کردا اے:

اوہ ترتیباں جتھے چار جسم اک گھٹیا ہویا جھنڈ بناؤندے نیں تے پنجواں اوہدے کول آؤندا اے، پوٹینشل توانائی — جو وکر دے نال نال ٹکی رہندی اے — نوں اُچے توں اُچے درجے تیک پھیلا کے رد کیتیاں گئیاں؛ مثبت کمیتاں لئی جو شرطاں نکلدیاں نیں اوہ اک دوجے دے الٹ نیں؛
ہور دو نقشیاں بارے وکھایا گیا پئی اوہ کدے نئیں بندے؛
باقی سبھ لئی، لکھاری ساریاں مطابقت رکھن والیاں کمیتی شرطاں نوں پکے کمپیوٹر الجبرا نال بیان کردا اے — 2,206 الجبری نظام — تے ہر اک لئی اک عددی سرٹیفکیٹ بناؤندا اے: ناطق (rational) عدداں دی اک لسٹ جیہدیاں خوبیاں، پکے حساب نال پرکھیاں جان، تے ثابت کردیاں نیں پئی توازن ممکن نئیں۔

منفی کمیتاں دا وچھایا جال

اک اڑچن اے جیہنوں خالص الجبرا ٹپ نئیں سکدا۔ اک ہور ریاضی دان، رابرٹس، نے کمیتاں (1, 1, 1, 1, −¼) لئی لامحدود مرکزی ترتیباں لبھیاں سن — جنہاں وچ اک کمیت منفی اے۔ کجھ نشان الٹان نال ایہہ کمیتاں (4, 4, 4, 4, 1) لئی مخلوط مساواتاں دے لامحدود حلاں وچ بدل جاندا اے۔ ایہہ اصلی ترتیباں نئیں، پر جیہڑی دلیل صرف مخلوط مساواتاں ویکھدی اے اوہ ایہناں نوں وکھ نئیں کر سکدی۔

ایس لئی اوہناں کمیتاں اُتے، تے جڑے ہوئے تناسب (1, 1, 4, 4, 4) اُتے، لکھاری اصلی ترتیباں نوں سدھا گندا اے، اک کمپیوٹر کھوج نال جو گارنٹی والا وقفی حساب (interval arithmetic) ورتدی اے:

کمیتاں (1, 4, 4, 4, 4) لئی: گھمان تے پیمانہ بدلن تیک 306 ترتیباں — 60 اک سدھی لکیر وچ، 24 اک ابھرواں (convex) پنج کونا بناؤندیاں، باقی اک یا دو جسماں دے اندر ہون نال؛
(1, 1, 4, 4, 4) لئی: 294۔

سدھی لکیر والیاں 60 ترتیباں مولٹن دی اک پرانی گنتی نال میل کھاندیاں نیں۔

مشین دی پرکھ

اینے حساباں اُتے ٹکے ثبوت نوں پکی تصدیق چاہیدی اے۔ ہر سرٹیفکیٹ نوں مقالے دیاں تعریفاں توں لکھے گئے اک وکھرے پروگرام نے دوبارہ پرکھیا۔ سبھ توں ودھ، تھیورم Lean 4 ثبوتی مددگار وچ ثابت کیتا گیا، اک پروگرام جو ہر منطقی قدم پرکھدا اے۔ رسمی ثبوت البوئی تے کالوشن دے نتیجیاں نوں وی پہلاں توں نئیں مندا: جو چاہیدا اے اوہ آپ دوبارہ کڈھدا اے، تے کھوج نال 1,376 لیبل والے نقشے لبھدا اے جو اوہناں دے اصولاں اُتے پورے اتردے نیں۔ Lean ثبوتاں دے دو ہور آزاد پرکھن والے وی ایہنوں من دے نیں۔ ایہنوں سرے توں بنان وچ لگ بھگ 860 CPU-گھنٹے لگدے نیں۔

مقالہ اک نکے بیان نال مکدا اے: نتیجے لبھن تے ثابت کرن، پروگرام تے Lean رسمی روپ لکھن، تے لکھت دا کچا خاکہ بنان لئی تخلیقی AI اوزار ورتے گئے۔ اوزاراں دے ناں نئیں دسے گئے۔

ایہہ کیہ آکھدا اے تے کیہ نئیں

نتیجہ اک سطح وچ پنج جسماں بارے اے۔ ایہہ ثابت کردا اے پئی مثبت کمیتاں دے ہر سیٹ لئی ترتیباں دی گنتی محدود اے، پر ٹھیک گنتی صرف اوہناں کجھ کمیتی تناسباں اُتے دیندا اے جنہاں نوں پڑھیا گیا۔