POINCARÉ, VERIFICADO LÍNEA A LÍNEA POR UNA MÁQUINA

Comprobar una demostración es una de las tareas más exigentes de las matemáticas, sobre todo cuando un argumento abarca varios campos. A medida que la IA acelera la producción de demostraciones, la verificación fiable cobra más importancia. Los asistentes de demostración como Lean 4 ofrecen una respuesta: las definiciones, los enunciados y las demostraciones se escriben como código, y un pequeño núcleo de confianza del programa, su «kernel», comprueba cada paso. Una demostración que supera el kernel establece su enunciado; lo que les queda a los humanos es comprobar que el enunciado dice realmente lo que los matemáticos quieren decir.

Una demostración condensada, una biblioteca que faltaba

La conjetura de Poincaré, demostrada por Perelman, afirma que toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa —de manera informal, un espacio 3D finito sin agujeros en los que pueda engancharse un lazo— es equivalente a la esfera tridimensional. La demostración sigue el programa del flujo de Ricci iniciado por Richard Hamilton. Los tres preprints de Perelman de 2002–2003 daban los argumentos clave de forma muy condensada; después llegaron exposiciones detalladas, entre ellas la monografía de 2007 de John Morgan y Gang Tian que sigue este proyecto.

Esa demostración se apoya en un análisis geométrico del que la biblioteca comunitaria de Lean, Mathlib, carecía en gran medida. Buena parte de los cimientos hubo que construirlos desde cero.

Hitos congelados por matemáticos

Zhiyuan Zhang, Axel Delaval, Bin Dong, Chunlei Liu y sus colegas de la Universidad de Pekín y de otras instituciones de la capital china empezaron en mayo de 2026: tres «ingenieros de IA» con formación matemática que trabajaban junto a matemáticos. Su primer enfoque —formalizar grandes bloques de teoría de base— fue lento, y el código resultante no estuvo a la altura de sus expectativas.

En septiembre de 2026 volvieron a empezar. La demostración se dividió en unos 90 hitos, cada uno un enunciado preciso en Lean con las definiciones que necesita. Los matemáticos revisaron estos enunciados antes o durante su formalización, y después se congelaron: los agentes no podían modificarlos, y cualquier corrección volvía a pasar por los matemáticos. Como nadie podía leer cada línea que escribían los agentes, estos hitos se convirtieron en los puntos de control en los que los humanos verificaban las matemáticas.

Los agentes trabajaron entonces en paralelo, mediante sesiones interactivas con herramientas de programación —sobre todo Codex y Claude Code— y mediante un sistema llamado Archon Horizon que reparte «misiones» acotadas entre muchos servidores. Un bot compilaba cada contribución y fusionaba las aceptadas. GPT-6-Astra se encargó de la mayor parte de la formalización de enunciados y de la construcción de demostraciones; Fable-5.1 se utilizó para comprobaciones independientes, para diagnosticar tareas bloqueadas y para revisar enunciados.

2,8 millones de líneas en unas dos semanas

Tras los meses de preparación, la formalización principal llevó algo más de dos semanas. Las suscripciones de IA y los servidores alquilados costaron unos 25.000 dólares. El desarrollo demuestra tanto la versión topológica como la diferenciable del teorema, compila por completo y supera una comprobación independiente frente a enunciados objetivo escritos solo con Mathlib.

Es enorme: unos 3,2 millones de líneas de Lean, recortadas a 2,8 millones al conservar solo aquello de lo que depende el teorema final. Según el recuento de los autores, casi la mitad es teoría de base. Un resultado clásico que Morgan y Tian mencionan en una sola nota a pie de página —sobre las estructuras diferenciables en variedades tridimensionales— ocupó por sí solo unas 650.000 líneas.

Lo que siguieron haciendo los humanos

Los autores clasifican los obstáculos en tres tipos: lagunas matemáticas, problemas de implementación en Lean y problemas de coordinación. Los humanos fijaron el alcance de los enunciados (por ejemplo, cuándo restringir un resultado a tres dimensiones), detectaron argumentos que faltaban —como un paso de compacidad local que los agentes no conseguían encontrar— y descubrieron supuestos ocultos. Su lección principal: la organización del trabajo importó tanto como la capacidad de los agentes. Extraen la misma conclusión de la reciente formalización del último teorema de Fermat por parte de Anthropic, que también tuvo que reiniciarse después de que los primeros intentos perdieran el hilo del estado del proyecto.

Verificado, pero aún sin pulir

Los autores no dan el trabajo por terminado. El código está lleno de duplicaciones; las demostraciones de los agentes no siempre siguen el camino de referencia; y convertirlo en una biblioteca reutilizable de análisis geométrico es la siguiente tarea. Otro equipo también ha anunciado una formalización independiente de la misma conjetura. Su esperanza: que algún día un solo matemático pueda usar este tipo de herramientas para verificar su propia investigación.

Conflicto de intereses. El equipo utilizó Claude Code y el modelo Fable-5.1, ambos de Anthropic, junto con GPT-6-Astra, usado mediante suscripciones de OpenAI, que hizo la mayor parte del trabajo. El artículo también compara su proyecto con la formalización del último teorema de Fermat realizada por Anthropic. Este artículo lo ha escrito Claude.