பொங்காரே, இயந்திரத்தால் வரிவரியாகச் சரிபார்க்கப்பட்டது

ஒரு நிரூபணத்தைச் சரிபார்ப்பது கணிதத்தின் மிகக் கடினமான பணிகளில் ஒன்று, குறிப்பாக ஒரு வாதம் பல துறைகளில் பரவியிருக்கும்போது. AI நிரூபணங்களின் உற்பத்தியை விரைவுபடுத்தும் நிலையில், நம்பகமான சரிபார்ப்பு மேலும் முக்கியமாகிறது. Lean 4 போன்ற நிரூபண உதவியாளர்கள் (proof assistants) ஒரு பதிலை வழங்குகின்றன: வரையறைகள், கூற்றுகள், நிரூபணங்கள் ஆகியவை குறியீடாக எழுதப்படுகின்றன; மென்பொருளின் சிறிய, நம்பகமான மையப்பகுதியான “கெர்னல்” ஒவ்வொரு படியையும் சரிபார்க்கிறது. கெர்னலைத் தாண்டும் நிரூபணம் தன் கூற்றை நிலைநாட்டுகிறது; கூற்று உண்மையிலேயே கணிதவியலாளர்கள் கருதுவதைத்தான் சொல்கிறதா என்று சரிபார்ப்பதுதான் மனிதர்களுக்கு எஞ்சுகிறது.

சுருக்கமான நிரூபணம், இல்லாத நூலகம்

பெரெல்மன் நிரூபித்த பொங்காரே அனுமானம், ஒவ்வொரு மூடிய, எளிய-இணைப்புள்ள (simply connected) முப்பரிமாணப் பன்மடிவும் (manifold) — எளிமையாகச் சொன்னால், ஒரு சுருக்குக் கயிறு சிக்கக்கூடிய எந்தத் துளையும் இல்லாத ஒரு முடிவுள்ள 3D வெளி — முப்பரிமாணக் கோளத்துக்குச் சமம் என்கிறது. நிரூபணம், ரிச்சர்ட் ஹாமில்டன் தொடங்கிய ரிச்சி ஓட்டம் (Ricci flow) திட்டத்தைப் பின்பற்றுகிறது. பெரெல்மனின் 2002–2003 மூன்று முன்அச்சுகள் முக்கிய வாதங்களை மிகச் சுருக்கமான வடிவில் தந்தன; இந்தத் திட்டம் பின்பற்றும் ஜான் மார்கன், காங் தியான் ஆகியோரின் 2007 நூல் உட்பட விரிவான விளக்கங்கள் பின்னர் வந்தன.

அந்த நிரூபணம் வடிவியல் பகுப்பாய்வைச் (geometric analysis) சார்ந்துள்ளது; Lean சமூகத்தின் நூலகமான Mathlib-இல் அது பெரும்பாலும் இல்லை. அடித்தளங்களில் பெரும்பகுதி புதிதாகக் கட்டப்பட வேண்டியிருந்தது.

கணிதவியலாளர்கள் உறைய வைத்த மைல்கற்கள்

பீக்கிங் பல்கலைக்கழகம் மற்றும் பிற பெய்ஜிங் நிறுவனங்களைச் சேர்ந்த ஜியுவான் ஜாங், ஆக்செல் டெலவால், பின் டாங், சுன்லெய் லியு மற்றும் சக ஆய்வாளர்கள் 2026 மே மாதம் தொடங்கினர்: கணிதப் பயிற்சி பெற்ற மூன்று “AI பொறியாளர்கள்” கணிதவியலாளர்களுடன் இணைந்து பணியாற்றினர். அவர்களின் முதல் அணுகுமுறை — பின்னணிக் கோட்பாட்டின் பெரும் பகுதிகளை முறைப்படுத்துவது — மெதுவாக இருந்தது; உருவான குறியீடு அவர்களின் எதிர்பார்ப்புகளை எட்டவில்லை.

2026 செப்டம்பரில், அவர்கள் மீண்டும் தொடங்கினர். நிரூபணம் சுமார் 90 மைல்கற்களாகப் (milestones) பிரிக்கப்பட்டது; ஒவ்வொன்றும் தனக்குத் தேவையான வரையறைகளுடன் கூடிய துல்லியமான ஒரு Lean கூற்று. இந்தக் கூற்றுகள் முறைப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்போ அல்லது அப்போதோ கணிதவியலாளர்கள் அவற்றை மதிப்பாய்வு செய்தனர்; பின்னர் அவை உறைய வைக்கப்பட்டன: முகவர்கள் அவற்றை மாற்ற முடியாது; எந்தத் திருத்தமும் கணிதவியலாளர்கள் வழியாகவே செல்ல வேண்டும். முகவர்கள் எழுதிய ஒவ்வொரு வரியையும் யாராலும் படிக்க முடியாது என்பதால், இந்த மைல்கற்களே மனிதர்கள் கணிதத்தைச் சரிபார்த்த சோதனைச் சாவடிகளாக ஆயின.

பின்னர் முகவர்கள் இணையாகப் பணியாற்றினர்: நிரலாக்கக் கருவிகளுடன் — முக்கியமாக Codex, Claude Code — ஊடாடும் அமர்வுகள் மூலமும், வரம்புக்குட்பட்ட “பணிகளை” பல சேவையகங்களுக்கு அனுப்பும் Archon Horizon என்ற அமைப்பு மூலமும். ஒரு போட் (bot) ஒவ்வொரு பங்களிப்பையும் தொகுத்து, ஏற்கப்பட்டவற்றை இணைத்தது. கூற்றுகளை முறைப்படுத்துவதிலும் நிரூபணங்களைக் கட்டுவதிலும் பெரும்பங்கை GPT-6-Astra சுமந்தது; சுயாதீனச் சரிபார்ப்புகள், தடைப்பட்ட பணிகளைக் கண்டறிதல், கூற்றுகளை மதிப்பாய்வு செய்தல் ஆகியவற்றுக்கு Fable-5.1 பயன்படுத்தப்பட்டது.

சுமார் இரண்டு வாரங்களில் 28 லட்சம் வரிகள்

மாதக்கணக்கான தயாரிப்புக்குப் பிறகு, முக்கிய முறைப்படுத்தல் இரண்டு வாரங்களுக்குச் சற்று அதிகம் எடுத்தது. AI சந்தாக்களும் வாடகைச் சேவையகங்களும் சுமார் 25,000 டாலர் செலவாயின. இந்தப் படைப்பு தேற்றத்தின் இடவியல், மென்மையான இரு வடிவங்களையும் நிரூபிக்கிறது; முழுமையாகத் தொகுக்கப்படுகிறது; Mathlib-ஐ மட்டுமே கொண்டு எழுதப்பட்ட இலக்குக் கூற்றுகளுக்கு எதிரான ஒரு சுயாதீனச் சரிபார்ப்பிலும் தேர்ச்சி பெறுகிறது.

இது மிகப் பெரியது: சுமார் 32 லட்சம் வரிகள் Lean; இறுதித் தேற்றம் சார்ந்திருப்பவற்றை மட்டும் வைத்துக்கொண்டு 28 லட்சமாகக் குறைக்கப்பட்டது. ஆசிரியர்களின் கணக்குப்படி, கிட்டத்தட்ட பாதி பின்னணிக் கோட்பாடு. மார்கனும் தியானும் ஒரே ஓர் அடிக்குறிப்பில் குறிப்பிடும் ஒரு செவ்வியல் முடிவு — முப்பரிமாணப் பன்மடிவுகளின் மீதான மென்மையான கட்டமைப்புகள் பற்றியது — தனியாகவே சுமார் 6,50,000 வரிகளை எடுத்தது.

மனிதர்கள் இன்னும் செய்தவை

ஆசிரியர்கள் தடைகளை மூன்று வகைகளாகப் பிரிக்கின்றனர்: கணித இடைவெளிகள், Lean செயலாக்கச் சிக்கல்கள், ஒருங்கிணைப்புச் சிக்கல்கள். கூற்றுகளின் எல்லையை மனிதர்கள் நிர்ணயித்தனர் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முடிவை எப்போது முப்பரிமாணத்துக்குள் கட்டுப்படுத்துவது), விடுபட்ட வாதங்களைக் கண்டறிந்தனர் — முகவர்களால் கண்டுபிடிக்க முடியாத ஓர் உள்ளூர்ச் சுருக்கத்தன்மை (local compactness) படி போல — மறைந்திருந்த அனுமானங்களையும் பிடித்தனர். அவர்களின் முக்கியப் பாடம்: முகவர்களின் திறன் அளவுக்கே பணியின் ஒழுங்கமைப்பும் முக்கியமானது. ஃபெர்மாவின் இறுதித் தேற்றத்தை Anthropic சமீபத்தில் முறைப்படுத்தியதிலிருந்தும் அவர்கள் இதே முடிவுக்கு வருகின்றனர்; ஆரம்ப முயற்சிகள் திட்டத்தின் நிலையைத் தவறவிட்ட பிறகு அதுவும் மீண்டும் தொடங்க வேண்டியிருந்தது.

சரிபார்க்கப்பட்டது, ஆனால் இன்னும் ஒழுங்காக இல்லை

ஆசிரியர்கள் இந்தப் பணி முடிந்துவிட்டதாகக் கருதவில்லை. குறியீடு மீள்வரவுகளால் நிறைந்துள்ளது; முகவர்களின் நிரூபணங்கள் எப்போதும் மேற்கோள் பாதையைப் பின்பற்றுவதில்லை; இதை மீண்டும் பயன்படுத்தக்கூடிய வடிவியல் பகுப்பாய்வு நூலகமாக மாற்றுவதே அடுத்த பணி. இதே அனுமானத்தை வேறொரு குழு சுயாதீனமாக முறைப்படுத்தியிருப்பதும் அறிவிக்கப்பட்டுள்ளது. அவர்களின் நம்பிக்கை: ஒருநாள் ஒரு தனிக் கணிதவியலாளர் இத்தகைய கருவிகளைக் கொண்டு தன் சொந்த ஆய்வைச் சரிபார்க்க முடியும் என்பது.

நலன் முரண்பாடு. பணியின் பெரும்பகுதியைச் செய்த, OpenAI சந்தாக்கள் வழியாகப் பயன்படுத்தப்பட்ட GPT-6-Astra-வுடன், Anthropic நிறுவனத்தின் Claude Code, Fable-5.1 மாதிரி ஆகியவற்றையும் குழு பயன்படுத்தியது. ஃபெர்மாவின் இறுதித் தேற்றத்தை Anthropic முறைப்படுத்தியதுடனும் கட்டுரை தன் திட்டத்தை ஒப்பிடுகிறது. இந்தக் கட்டுரையை எழுதியது Claude.