POINCARÉ, VERIFICADO LINHA POR LINHA POR MÁQUINA

Verificar uma prova é uma das tarefas mais exigentes da matemática, sobretudo quando um argumento atravessa vários campos. À medida que a IA acelera a produção de provas, uma verificação confiável importa mais. Assistentes de prova como o Lean 4 oferecem uma resposta: definições, enunciados e provas são escritos como código, e um pequeno núcleo confiável do software, seu “kernel”, verifica cada passo. Uma prova que passa pelo kernel estabelece seu enunciado; o que resta aos humanos é verificar se o enunciado diz de fato o que os matemáticos querem dizer.

Uma prova condensada, uma biblioteca ausente

A conjectura de Poincaré, provada por Perelman, afirma que toda variedade tridimensional fechada e simplesmente conexa — informalmente, um espaço 3D finito sem buracos em que um laço possa ficar preso — é equivalente à esfera tridimensional. A prova segue o programa do fluxo de Ricci iniciado por Richard Hamilton. Os três preprints de Perelman de 2002–2003 apresentaram os argumentos-chave de forma muito condensada; relatos detalhados vieram depois, incluindo a monografia de 2007 de John Morgan e Gang Tian, que este projeto segue.

Essa prova se apoia em análise geométrica que a biblioteca comunitária do Lean, a Mathlib, em grande parte não tinha. Boa parte dos fundamentos teve de ser construída do zero.

Marcos congelados por matemáticos

Zhiyuan Zhang, Axel Delaval, Bin Dong, Chunlei Liu e colegas da Universidade de Pequim e de outras instituições de Pequim começaram em maio de 2026: três “engenheiros de IA” com formação matemática trabalhando ao lado de matemáticos. Sua primeira abordagem — formalizar grandes blocos de teoria de base — foi lenta, e o código resultante ficou aquém das expectativas.

Em setembro de 2026, eles recomeçaram. A prova foi dividida em cerca de 90 marcos, cada um um enunciado preciso em Lean com as definições de que precisa. Matemáticos revisaram esses enunciados antes ou durante sua formalização, e então eles foram congelados: os agentes não podiam alterá-los, e qualquer correção voltava aos matemáticos. Como ninguém podia ler cada linha escrita pelos agentes, esses marcos se tornaram os pontos de controle em que os humanos verificavam a matemática.

Os agentes então trabalharam em paralelo, por meio de sessões interativas com ferramentas de programação — principalmente Codex e Claude Code — e de um sistema chamado Archon Horizon, que distribui “missões” delimitadas para muitos servidores. Um bot compilava cada contribuição e incorporava as aceitas. O GPT-6-Astra fez a maior parte da formalização dos enunciados e da construção das provas; o Fable-5.1 foi usado para verificações independentes, para diagnosticar tarefas bloqueadas e para revisar enunciados.

2,8 milhões de linhas em cerca de duas semanas

Depois dos meses de preparação, a formalização principal levou pouco mais de duas semanas. Assinaturas de IA e servidores alugados custaram cerca de US$ 25.000. O desenvolvimento prova tanto a versão topológica quanto a suave do teorema, compila por completo e passa por uma verificação independente contra enunciados-alvo escritos usando apenas a Mathlib.

É enorme: cerca de 3,2 milhões de linhas de Lean, reduzidas a 2,8 milhões mantendo apenas aquilo de que o teorema final depende. Pelas contas dos autores, quase metade é teoria de base. Um resultado clássico que Morgan e Tian mencionam em uma única nota de rodapé — sobre estruturas suaves em variedades tridimensionais — exigiu sozinho cerca de 650.000 linhas.

O que os humanos ainda fizeram

Os autores classificam os obstáculos em três tipos: lacunas matemáticas, problemas de implementação em Lean e problemas de coordenação. Os humanos definiram o escopo dos enunciados (por exemplo, quando restringir um resultado a três dimensões), identificaram argumentos ausentes — como uma etapa de compacidade local que os agentes não conseguiam encontrar — e flagraram hipóteses ocultas. A principal lição deles: a organização do trabalho importou tanto quanto a capacidade dos agentes. Eles tiram a mesma conclusão da recente formalização do Último Teorema de Fermat pela Anthropic, que também teve de recomeçar depois que as primeiras tentativas perderam o controle do estado do projeto.

Verificado, mas ainda não arrumado

Os autores não consideram o trabalho concluído. O código está cheio de duplicações; as provas dos agentes nem sempre seguem o caminho de referência; e transformá-lo em uma biblioteca reutilizável de análise geométrica é a próxima tarefa. Uma formalização independente da mesma conjectura por outra equipe também foi anunciada. A esperança deles: que um dia um único matemático possa usar essas ferramentas para verificar sua própria pesquisa.

Conflito de interesses. A equipe usou o Claude Code e o modelo Fable-5.1, ambos da Anthropic, ao lado do GPT-6-Astra, usado por meio de assinaturas da OpenAI, que fez a maior parte do trabalho. O artigo também compara seu projeto com a formalização do Último Teorema de Fermat feita pela Anthropic. Este texto foi escrito pelo Claude.