Mathématiques · l'expérience
Trouve la frontière de Nagata
Des points posés au hasard dans le plan, une courbe qui doit passer trois fois par chacun. Monte son degré jusqu'à la frontière que fixe la conjecture de Nagata, puis teste-en les limites.
1 · Bloque la courbe à seize points
Débutant
Pour r ≥ 10 points très généraux, que dit la conjecture de Nagata d'une courbe de degré d qui passe m fois par chacun ?
Seize points très généraux, chacun traversé trois fois. Trouve le plus petit degré d'une courbe qui y parvient.
2 · Compte les conditions à dix points
Passer m fois par un point impose m(m+1)/2 conditions à la courbe.
Intermédiaire
Combien de conditions imposent dix points, chacun traversé trois fois ?
Dix points très généraux, chacun traversé trois fois. Trouve le plus petit degré d'une courbe qui y parvient.
3 · Retire le dixième point
Neuf points sont toujours sur une cubique. Élevée à la puissance m, cette cubique devient une courbe de degré 3m qui passe m fois par chacun des neuf points.
Expert
Pour r = 9, que fait cette courbe à la borne d > m√r ?
4 · Cherche entre la borne et le compte
Cent points, chacun traversé dix fois : 5 500 conditions. La conjecture exclut tout degré jusqu'à 10√100 = 100. Le compte garantit une courbe dès le degré 104, qui a 5 565 coefficients ; le degré 103 n'en a que 5 460.
Expert
Que sait-on, avec ces deux seuls outils, des degrés 101, 102 et 103 ?
Frontière tracée
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