UNE CONJECTURE DE 1959, UNE PREUVE D'OPENAI, ET DES NOTES POUR LA LIRE

Cet article porte sur des notes écrites pour expliquer la preuve de quelqu’un d’autre. Tout ce qui est dit ici de la preuve d’OpenAI vient de ces notes, de seconde main.

Des courbes par des points

Le problème part d’un exercice élémentaire, l’interpolation : on choisit quelques valeurs de x, on fixe la valeur voulue en chacune, et un polynôme y parvient toujours. Dans le plan, le même jeu demande à une courbe de passer par un ensemble de points, ce qu’elle peut faire si son degré est assez grand. Une courbe de degré d — tracée par une équation polynomiale en x et y dont la plus haute puissance est d : une droite est de degré 1, un cercle de degré 2 — a (d+1)(d+2)/2 coefficients, et lui demander de passer par un point, c’est une équation.

Demandons plus : la courbe doit passer par chaque point avec la multiplicité m — plusieurs fois, comme un nœud de branches qui s’y croisent. Chacun de ces points impose m(m+1)/2 équations. Pour d et m grands, le décompte donne environ d²/2 coefficients contre r m²/2 conditions : le décompte garantit une courbe dès que d/m dépasse un peu √r, pour r points — exactement, dès que les coefficients sont plus nombreux que les conditions.

La conjecture de Nagata (1959) le précise : pour r ≥ 10 points placés de façon « très générale » — sans coïncidence particulière, comme des points tirés au hasard —, toute courbe de ce type a un degré supérieur à m√r. La condition r ≥ 10 est nécessaire : neuf points sont toujours sur une cubique (une courbe de degré 3), et cette cubique prise m fois est une courbe de degré 3m qui passe m fois par chacun — exactement m√9, l’égalité que la conjecture interdit. Nagata l’avait démontrée quand r est un carré parfait.

Deux exemples tirés des notes : aucune courbe de degré 9 ne passe trois fois par chacun de 10 points généraux (seulement 55 coefficients pour 60 conditions — insuffisant pour conclure, car des conditions peuvent se recouper ; c’est la borne de Nagata qui l’exclut, 9 étant sous 3√10 ≈ 9,5), et aucune courbe de degré 12 ne passe trois fois par 16 points généraux — le cas d’égalité 12 = 3√16.

La preuve, racontée par Tevelev

La référence est « OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves », une prépublication OpenAI Math Release datée du 23 septembre 2026, accompagnée de manuscrits sur des questions voisines publiés le 23 septembre et le 5 octobre. Jenia Tevelev, d’UMass Amherst, l’a étudiée pour un exposé et en a tiré ces notes, en espérant qu’elles seront « utiles, surtout aux non-spécialistes ». Tevelev ne revendique aucune originalité et a réorganisé l’argument.

Les premières étapes, classiques, ramènent le plan sur une courbe cubique lisse et fusionnent les r points en un seul. L’idée nouvelle, dans ce récit, consiste à laisser la cubique développer un nœud — un point où elle se recoupe, en pinçant une boucle — et à suivre ses fonctions thêta, la façon habituelle d’écrire les fonctions qui vivent sur une telle courbe, pendant que ce pincement se referme. Une dualité échange alors la question « quelles courbes s’annulent en ces points ? » contre son image inverse, « quelles valeurs peut-on y imposer ? », et il ne reste qu’une interpolation sur un triangle de points à coordonnées entières — une table finie de valeurs à remplir, « ce qui est direct ».

Le cas des seize points triples : les 91 points du triangle (à gauche) et les 96 monômes, les termes élémentaires comme x²y dont sont faits les polynômes (à droite). Montrer que ces 96 termes peuvent prendre n’importe quelles valeurs sur les 91 points — la matrice 96 × 91 est « de rang maximal » — exclut la courbe. — Figure 3, Tevelev (2026), arXiv:2610.30050, CC BY 4.0.

Le même calcul règle une question voisine, plus technique, où le plan est agrandi autour d’un point de façon inégale dans deux directions (« éclatements pondérés »), quand le rapport de ces deux agrandissements dépasse neuf — un cas d’une conjecture de Dumnicki, Harbourne, Küronya, Roé et Szemberg.

Les notes présentent l’argument comme une preuve. Elles ne mentionnent aucune vérification formelle indépendante, comme une relecture par les pairs ou une preuve vérifiée par ordinateur.

Une première lecture humaine ?

Les notes portent aussi une opinion. En lisant les manuscrits publiés, Tevelev s’est demandé si cette lecture était la première par un humain (« leur premier lecteur humain ») : « Ils semblaient presque entièrement non édités. » Tevelev pense que l’entreprise comptait sur les mathématiciens pour faire le tri, un travail éditorial qui « demande expertise et temps, mais apporte peu de la reconnaissance associée à la recherche originale ». Comme beaucoup d’autres, Tevelev estime que cette façon de faire nuit à la profession, « en particulier à la motivation et à la formation des jeunes ».

« En même temps, je pense que ces manuscrits sont une réussite stupéfiante », écrit Tevelev : le modèle a résolu des problèmes que beaucoup d’experts croyaient hors de portée, et « la vieille broussaille des conjectures mathématiques » est « en train de brûler rapidement dans le feu de l’IA ».

La proposition : une fondation indépendante financée par les entreprises d’IA, qui offrirait bourses, contrats doctoraux et accès aux meilleurs modèles pour les jeunes chercheurs, avec une évaluation par les pairs sur le modèle de la National Science Foundation américaine.

Les notes indiquent avoir été « éditées et illustrées avec ChatGPT Astra ».