UNA CONJETURA DE 1959, UNA DEMOSTRACIÓN DE OPENAI Y UN MATEMÁTICO QUE LA LEYÓ
Este artículo trata de unas notas escritas por un matemático para explicar la demostración de otro. Todo lo que aquí se dice sobre la demostración de OpenAI procede de esas notas, de segunda mano.
Curvas que pasan por puntos
El problema nace de un ejercicio escolar llamado interpolación: se eligen unos pocos valores de x, se decide qué valor debe tomar una función en cada uno de ellos, y siempre hay algún polinomio que lo consigue. En el plano, el mismo juego pide a una curva que pase por un conjunto de puntos, algo que puede hacer si su grado es lo bastante alto. Una curva de grado d —trazada por una ecuación polinómica en x e y cuya potencia más alta es d: una recta tiene grado 1; una circunferencia, 2— tiene (d+1)(d+2)/2 coeficientes, y pedirle que pase por un punto equivale a una ecuación.
Ahora pidamos más: la curva debe pasar por cada punto con multiplicidad m, es decir, varias veces, como un nudo de ramas que se cruzan allí. Cada uno de estos puntos impone m(m+1)/2 ecuaciones. Para d y m grandes, el recuento da unos d²/2 coeficientes frente a r m²/2 condiciones, de modo que, para r puntos, el recuento garantiza una curva en cuanto d/m supera un poco √r; exactamente, en cuanto los coeficientes superan en número a las condiciones.
La conjetura de Nagata (1959) lo precisa: para r ≥ 10 puntos colocados de forma «muy general» (sin ninguna coincidencia especial entre ellos, como ocurriría con puntos elegidos al azar), toda curva de este tipo tiene grado mayor que m√r. La condición r ≥ 10 es necesaria: nueve puntos siempre están en una cúbica (una curva de grado 3), y esa cúbica tomada m veces es una curva de grado 3m que pasa m veces por cada uno de ellos, exactamente m√9, la igualdad que la conjetura excluye. Nagata la demostró cuando r es un cuadrado perfecto.
Dos ejemplos de las notas: ninguna curva de grado 9 pasa tres veces por cada uno de 10 puntos generales (solo 55 coeficientes para 60 condiciones, lo que no basta por sí solo para concluir, porque las condiciones pueden solaparse; lo que la descarta es la cota de Nagata, ya que 9 está por debajo de 3√10 ≈ 9,5), y ninguna curva de grado 12 pasa tres veces por 16 puntos generales, el caso de igualdad 12 = 3√16.
La demostración, según la cuenta Tevelev
La referencia es «OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves», un preprint de OpenAI Math Release fechado el 23 de septiembre de 2026, acompañado de manuscritos sobre cuestiones relacionadas publicados el 23 de septiembre y el 5 de octubre. Jenia Tevelev, de UMass Amherst, lo estudió para dar una charla y convirtió esa exposición en estas notas, con la esperanza de que «sean útiles, sobre todo para los no especialistas». Tevelev no reivindica ninguna originalidad y ha reorganizado el razonamiento.
Los primeros pasos habituales comprimen el plano sobre una curva cúbica lisa y funden los r puntos en uno solo. La idea nueva, según esta exposición, es dejar que la cúbica desarrolle un nodo, un punto en el que la curva se cruza consigo misma y estrangula un lazo, y seguir sus funciones theta, la manera habitual de escribir las funciones que viven sobre una curva así, a medida que ese estrangulamiento se cierra. Una dualidad cambia entonces la pregunta «¿qué curvas se anulan en los puntos?» por su imagen reflejada, «¿qué valores se pueden imponer allí?», y lo que queda es una interpolación sobre un triángulo de puntos de coordenadas enteras: una tabla finita de valores que hay que rellenar, «que es sencilla».
El caso de dieciséis puntos triples: los 91 puntos de red del triángulo (izquierda) y los 96 monomios, los términos elementales como x²y con los que se construyen los polinomios (derecha). Demostrar que estos 96 términos pueden tomar cualquier valor en los 91 puntos (la matriz de 96 × 91 tiene «rango completo») descarta la curva. — Figura 3, Tevelev (2026), arXiv:2610.30050, CC BY 4.0.
El mismo cálculo resuelve una cuestión relacionada, más técnica, en la que el plano se amplía alrededor de un punto en proporciones distintas en dos direcciones («explosiones ponderadas», weighted blow-ups), cuando la razón entre esas proporciones supera nueve, un caso de una conjetura de Dumnicki, Harbourne, Küronya, Roé y Szemberg.
Las notas presentan el razonamiento como una demostración. No mencionan ninguna verificación formal independiente, como una revisión por pares o una demostración verificada por ordenador.
«Su primer lector humano»
Las notas recogen también la opinión del autor. Al leer los manuscritos publicados, Tevelev «se preguntó si no sería su primer lector humano. Parecían casi totalmente sin editar». Tevelev sospecha que la empresa esperaba que los matemáticos los pusieran en orden, un esfuerzo editorial que «exige experiencia y tiempo, pero aporta poco del reconocimiento asociado a la investigación original». Como muchos otros, Tevelev cree que este enfoque perjudica a la profesión, «sobre todo la motivación y la formación de los jóvenes».
«Al mismo tiempo, creo que estos manuscritos son un logro asombroso», escribe Tevelev: el modelo resolvió problemas que muchos expertos creían fuera de alcance, y «la vieja maleza de las conjeturas matemáticas» está «ardiendo rápidamente en el fuego de la IA».
La propuesta: una fundación independiente financiada por las empresas de IA, que ofrezca subvenciones, becas y acceso a los mejores modelos a los jóvenes investigadores, con una revisión por pares inspirada en la National Science Foundation de Estados Unidos.
Las notas indican que fueron «editadas e ilustradas con ChatGPT Astra».