UMA CONJECTURA DE 1959, UMA PROVA DA OPENAI E UM MATEMÁTICO QUE A LEU

Este artigo trata de notas escritas por um matemático para explicar a prova de outro. Tudo o que se diz aqui sobre a prova da OpenAI vem dessas notas, de segunda mão.

Curvas por pontos

O problema nasce de um exercício escolar chamado interpolação: escolha alguns valores de x, decida que valor uma função deve assumir em cada um deles, e sempre há algum polinômio que faz isso. No plano, o mesmo jogo pede que uma curva passe por um conjunto de pontos, o que ela consegue fazer se o grau for alto o bastante. Uma curva de grau d — desenhada por uma equação polinomial em x e y cuja maior potência é d: uma reta tem grau 1, um círculo, 2 — tem (d+1)(d+2)/2 coeficientes, e exigir que ela passe por um ponto é uma equação.

Agora peça mais: a curva deve passar por cada ponto com multiplicidade m — várias vezes, como um nó de ramos que se cruzam ali. Cada ponto desses impõe m(m+1)/2 equações. Para d e m grandes, as contagens dão cerca de d²/2 coeficientes contra r m²/2 condições, de modo que, para r pontos, a contagem garante uma curva assim que d/m fica um pouco acima de √r — exatamente, assim que os coeficientes passam a ser mais numerosos que as condições.

A conjectura de Nagata (1959) torna isso preciso: para r ≥ 10 pontos colocados de modo “muito geral” — sem nenhuma coincidência especial entre eles, como seriam pontos escolhidos ao acaso —, toda curva desse tipo tem grau maior que m√r. A condição r ≥ 10 é necessária: nove pontos sempre estão numa cúbica (uma curva de grau 3), e essa cúbica tomada m vezes é uma curva de grau 3m que passa m vezes por cada um deles — exatamente m√9, a igualdade que a conjectura exclui. Nagata a provou quando r é um quadrado perfeito.

Dois exemplos das notas: nenhuma curva de grau 9 passa três vezes por cada um de 10 pontos gerais (apenas 55 coeficientes para 60 condições — o que, sozinho, não basta para concluir, já que as condições podem se sobrepor; o que exclui essa curva é a cota de Nagata, pois 9 fica abaixo de 3√10 ≈ 9,5), e nenhuma curva de grau 12 passa três vezes por 16 pontos gerais — o caso de igualdade 12 = 3√16.

A prova, como Tevelev a conta

A referência é “OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves”, um preprint OpenAI Math Release datado de 23 de setembro de 2026, com manuscritos complementares sobre questões relacionadas divulgados em 23 de setembro e 5 de outubro. Jenia Tevelev, da UMass Amherst, o estudou para uma palestra e transformou esse relato nestas notas, na esperança de que “sejam úteis, especialmente para não especialistas”. Tevelev não reivindica originalidade e reorganizou o argumento.

Os primeiros passos padrão comprimem o plano sobre uma curva cúbica lisa e fundem os r pontos num só. A ideia nova, neste relato, é deixar a cúbica desenvolver um nó — um ponto em que a curva cruza a si mesma, estrangulando um laço — e acompanhar suas funções teta, o modo habitual de escrever funções que vivem numa curva assim, enquanto esse estrangulamento se fecha. Uma dualidade então troca a pergunta “quais curvas se anulam nos pontos?” por sua imagem espelhada, “quais valores podem ser prescritos ali?”, e o que resta é uma interpolação num triângulo de pontos de coordenadas inteiras — uma tabela finita de valores a preencher, “o que é direto”.

O caso de dezesseis pontos triplos: os 91 pontos de rede do triângulo (à esquerda) e os 96 monômios, os termos elementares como x²y com os quais se constroem os polinômios (à direita). Mostrar que esses 96 termos podem assumir quaisquer valores nos 91 pontos — a matriz 96 × 91 tem “posto máximo” — descarta a curva. — Figura 3, Tevelev (2026), arXiv:2610.30050, CC BY 4.0.

O mesmo cálculo resolve uma questão relacionada, mais técnica, em que o plano é ampliado em torno de um ponto por fatores diferentes em duas direções (“explosões ponderadas”, weighted blow-ups), quando a razão entre esses fatores passa de nove — um caso de uma conjectura de Dumnicki, Harbourne, Küronya, Roé e Szemberg.

As notas apresentam o argumento como uma prova. Elas não mencionam nenhuma verificação formal independente, como revisão por pares ou uma prova verificada por computador.

“Seu primeiro leitor humano”

As notas também trazem a opinião do autor. Lendo os manuscritos divulgados, Tevelev conta: “me perguntei se eu não seria o primeiro leitor humano deles. Pareciam quase inteiramente não editados”. Tevelev suspeita que a empresa esperava que os matemáticos os pusessem em ordem, um esforço editorial que “exige competência e tempo, mas traz pouco do reconhecimento associado à pesquisa original”. Como muitos outros, Tevelev acredita que essa abordagem prejudica a profissão, “especialmente a motivação e a formação dos jovens”.

“Ao mesmo tempo, acho que esses manuscritos são uma conquista impressionante”, escreve Tevelev: o modelo resolveu problemas que muitos especialistas consideravam inalcançáveis, e “o velho matagal das conjecturas matemáticas” está “sendo rapidamente queimado no fogo da IA”.

A proposta: uma fundação independente financiada pelas empresas de IA, oferecendo bolsas, auxílios e acesso aos melhores modelos para jovens pesquisadores, com revisão por pares inspirada na National Science Foundation dos Estados Unidos.

As notas dizem ter sido “editadas e ilustradas com o ChatGPT Astra”.