1959年の予想、OpenAIの証明、そしてそれを読んだ数学者

この記事は、ある数学者が他者の証明を説明するために書いたノートについてのものである。ここでOpenAIの証明について述べることはすべて、そのノートからの又聞きである。

点を通る曲線

この問題は、補間と呼ばれる学校の練習問題から生まれる。x の値をいくつか選び、それぞれで関数がとるべき値を決めれば、必ずそれを実現する多項式がある。平面では、同じ遊びが曲線にいくつかの点を通るよう求め、次数が十分に高ければそれができる。次数 d の曲線（x と y の多項式の方程式で描かれ、その最も高い次数が d であるもの。直線は次数1、円は2）には (d+1)(d+2)/2 個の係数があり、ある点を通るよう求めることは1つの方程式になる。

さらに要求を増やそう。曲線が各点を重複度 m で、つまり何重にも通らなければならないとする。そこで枝が交差する結び目のようなものだ。そうした点1つが m(m+1)/2 個の方程式を課す。d と m が大きいとき、数え上げはおよそ d²/2 個の係数に対して r m²/2 個の条件となる。したがって r 個の点について、d/m が √r を少し上回りさえすれば、数え上げから曲線の存在が保証される。正確には、係数の数が条件の数を上回ればすぐにである。

永田予想（1959年）はこれを厳密に述べる。「非常に一般的な」位置に置いた（無作為に選んだ点のように、互いのあいだに特別な一致がない）r ≥ 10 個の点について、そうした曲線はどれも次数が m√r より大きい。r ≥ 10 という条件は必要だ。9個の点はいつでも3次曲線の上にあり、その3次曲線を m 重に取れば、各点を m 重に通る次数 3m の曲線が得られる。これはちょうど m√9 であり、予想が除外している等号の場合である。永田は r が完全平方数の場合にこれを証明した。

ノートからの例を2つ。10個の一般的な点のそれぞれを3重に通る9次曲線は存在しない（条件60個に対して係数は55個しかない。ただし条件は重なりうるので、それだけでは結論できない。これを除外するのは永田の限界で、9は3√10 ≈ 9.5を下回る）。また、16個の一般的な点を3重に通る12次曲線も存在しない。これは等号の場合、12 = 3√16 である。

テヴェレフが語る証明

参照されているのは「OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves」で、2026年9月23日付のOpenAI Math Releaseのプレプリントである。関連する問題についての付随原稿も、9月23日と10月5日に公開された。マサチューセッツ大学アマースト校のジェーニャ・テヴェレフは講演のためにこれを研究し、その説明をこのノートにまとめた。ノートが「とくに専門家でない人にとって役立つ」ことを願ってのことだ。テヴェレフは独創性を主張せず、議論を再構成している。

標準的な最初の段階では、平面をなめらかな3次曲線の上に押しつぶし、r 個の点を1つにまとめる。この説明によれば、新しいアイデアは、3次曲線に結節点（ノード）、つまり曲線が自分自身と交差してループをつまみ切る点を生じさせ、そのつまみが閉じていくあいだ、そうした曲線の上に住む関数を書き下す標準的な方法であるテータ関数を追うことにある。次に双対性が、「どの曲線がその点で消えるか」という問いを、その鏡像である「そこではどんな値を指定できるか」に置き換える。残るのは整数の格子点がつくる三角形上での補間、つまり埋めるべき有限の値の表であり、それは「素直に解ける」。

16個の3重点の場合。三角形の91個の格子点（左）と、96個の単項式、つまり多項式を組み立てる x²y のような基本的な項（右）。これら96個の項が91個の点で任意の値をとれること、すなわち96 × 91の行列が「最大階数」をもつことを示せば、その曲線は存在しないことになる。— 図3、Tevelev (2026), arXiv:2610.30050, CC BY 4.0.

同じ計算で、より専門的な関連問題も解決する。平面を1点のまわりで2つの方向に異なる倍率で拡大するもの（「重み付きブローアップ」）で、その倍率の比が9を超える場合である。これは、ドゥムニツキ、ハーボーン、キュロニャ、ロエ、シェンベルクによる予想の一つの場合にあたる。

ノートはこの議論を証明として示している。査読やコンピュータで検証された証明のような、独立した形式的な確認についてはふれていない。

「最初の人間の読者」

ノートには著者の意見も記されている。公開された原稿を読みながら、テヴェレフは「自分がその最初の人間の読者なのではないかと思った。原稿はほとんどまったく編集されていないように見えた」。テヴェレフは、会社が数学者に整理を任せるつもりだったのではないかと疑っている。その編集作業は「専門知識と時間を要するのに、独創的な研究に伴う評価はほとんど得られない」。ほかの多くの人と同様に、テヴェレフはこのやり方が職業としての数学を、「とくに若い人たちの意欲と訓練を」損なうと考えている。

「同時に、これらの原稿は驚くべき成果だと思う」とテヴェレフは書く。このモデルは、多くの専門家が手の届かないと考えていた問題を解き、「数学の予想という古いやぶ」は「AIの火のなかで急速に焼き払われつつある」。

提案はこうだ。AI企業が資金を出す独立した財団をつくり、若い研究者に助成金、フェローシップ、最高のモデルへのアクセスを提供する。査読は米国国立科学財団（NSF）にならう。

ノートには、「ChatGPT Astraで編集し図版をつけた」と記されている。