1959-এর একটি অনুমান, OpenAI-এর একটি প্রমাণ, আর একজন গণিতবিদ যিনি তা পড়েছেন

এই লেখাটি একজন গণিতবিদের লেখা কিছু নোট নিয়ে, যা অন্য কারও প্রমাণ ব্যাখ্যা করার জন্য লেখা। OpenAI-এর প্রমাণ সম্পর্কে এখানে যা বলা হয়েছে, সবই সেই নোট থেকে, পরোক্ষভাবে।

বিন্দুর মধ্য দিয়ে বক্ররেখা

সমস্যাটির উৎপত্তি অন্তর্বেশন (interpolation) নামের একটি স্কুল-অনুশীলনী থেকে: x-এর কয়েকটি মান বেছে নিন, ঠিক করুন প্রতিটিতে একটি ফাংশনের কী মান হওয়া উচিত, আর কোনো একটি বহুপদী সবসময়ই তা পারে। সমতলে একই খেলা একটি বক্ররেখাকে একগুচ্ছ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে বলে, যা সে পারে যদি তার ঘাত যথেষ্ট উঁচু হয়। d ঘাতের একটি বক্ররেখার — যা x ও y-এর এমন একটি বহুপদী সমীকরণে আঁকা, যার সর্বোচ্চ ঘাত d: একটি সরলরেখার ঘাত 1, একটি বৃত্তের 2 — (d+1)(d+2)/2টি সহগ থাকে, আর তাকে একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে বলা মানে একটি সমীকরণ।

এবার আরও চাওয়া যাক: বক্ররেখাটিকে প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে বহুগুণতা m (multiplicity) নিয়ে যেতে হবে — কয়েকবার করে, যেন সেখানে শাখাদের একটি গিঁট পরস্পরকে ছেদ করছে। এমন প্রতিটি বিন্দু m(m+1)/2টি সমীকরণ চাপায়। বড় d ও m-এর জন্য গণনাগুলো দাঁড়ায় প্রায় d²/2টি সহগের বিপরীতে r m²/2টি শর্ত, তাই rটি বিন্দুর জন্য, d/m √r-এর চেয়ে সামান্য বেশি হলেই এই গণনা একটি বক্ররেখার নিশ্চয়তা দেয় — সঠিকভাবে বললে, সহগের সংখ্যা শর্তের সংখ্যাকে ছাড়িয়ে গেলেই।

নাগাতা অনুমান (1959) এটিকে নির্দিষ্ট করে: “খুবই সাধারণ” ভাবে বসানো r ≥ 10টি বিন্দুর জন্য — তাদের মধ্যে কোনো বিশেষ কাকতালীয় মিল নেই, যেমন এলোমেলোভাবে বাছা বিন্দুর ক্ষেত্রে হয় — এমন প্রতিটি বক্ররেখার ঘাত m√r-এর চেয়ে বেশি। শর্ত r ≥ 10 জরুরি: নয়টি বিন্দু সবসময় একটি ঘন বক্ররেখার (3 ঘাতের বক্ররেখা) ওপর থাকে, আর সেই ঘন বক্ররেখাকে m বার নিলে পাওয়া যায় 3m ঘাতের একটি বক্ররেখা, যা তাদের প্রতিটির মধ্য দিয়ে m বার যায় — ঠিক m√9, যে সমতাটিকে অনুমানটি নাকচ করে। r পূর্ণবর্গ হলে নাগাতা নিজেই এটি প্রমাণ করেছিলেন।

নোট থেকে দুটি উদাহরণ: 9 ঘাতের কোনো বক্ররেখা 10টি সাধারণ বিন্দুর প্রতিটির মধ্য দিয়ে তিনবার যায় না (60টি শর্তের জন্য মাত্র 55টি সহগ — যা একা সিদ্ধান্তে পৌঁছনোর জন্য যথেষ্ট নয়, কারণ শর্তগুলো একটি আরেকটির সঙ্গে মিলে যেতে পারে; একে বাতিল করে নাগাতার সীমা, কারণ 9, 3√10 ≈ 9.5-এর চেয়ে কম), আর 12 ঘাতের কোনো বক্ররেখা 16টি সাধারণ বিন্দুর মধ্য দিয়ে তিনবার যায় না — সমতার ক্ষেত্র 12 = 3√16।

প্রমাণটি, Tevelev যেমন বলেন

সূত্রটি হলো “OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves”, একটি OpenAI Math Release প্রিপ্রিন্ট, তারিখ 23 সেপ্টেম্বর 2026, সঙ্গে সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন নিয়ে সহযোগী পাণ্ডুলিপি, যা প্রকাশিত হয়েছে 23 সেপ্টেম্বর ও 5 অক্টোবর। UMass Amherst-এর Jenia Tevelev একটি বক্তৃতার জন্য এটি অধ্যয়ন করেছেন এবং সেই বিবরণকে এই নোটে রূপ দিয়েছেন, এই আশায় যে এগুলো “কাজে লাগবে, বিশেষত অ-বিশেষজ্ঞদের”। Tevelev কোনো মৌলিকতা দাবি করেন না এবং যুক্তিটি নতুন করে সাজিয়েছেন।

প্রচলিত প্রথম ধাপগুলো সমতলকে একটি মসৃণ ঘন বক্ররেখার ওপর চেপে আনে এবং rটি বিন্দুকে একটিতে মিশিয়ে দেয়। এই বিবরণ অনুযায়ী, নতুন ধারণাটি হলো ঘন বক্ররেখাটিকে একটি নোড তৈরি করতে দেওয়া — এমন একটি বিন্দু, যেখানে বক্ররেখাটি নিজেকেই ছেদ করে, একটি ফাঁসকে চিমটে আলাদা করে দেয় — এবং সেই চিমটি বন্ধ হওয়ার সঙ্গে সঙ্গে তার থিটা ফাংশন (theta functions) অনুসরণ করা, অর্থাৎ এমন বক্ররেখার ওপর বাস করা ফাংশনগুলো লিখে ফেলার প্রচলিত উপায়টি। এরপর একটি দ্বৈততা “কোন বক্ররেখাগুলো ওই বিন্দুগুলোতে বিলুপ্ত হয়?” প্রশ্নটিকে তার আয়নাপ্রতিবিম্বের সঙ্গে বদলে নেয়, “ওখানে কোন মানগুলো নির্ধারণ করে দেওয়া যায়?”, আর যা পড়ে থাকে তা হলো পূর্ণসংখ্যার জালক বিন্দুর একটি ত্রিভুজে অন্তর্বেশন — ভরে ফেলার মতো মানের একটি সসীম তালিকা, “যা সোজাসাপ্টা”।

ষোলোটি ত্রিগুণ বিন্দুর ক্ষেত্র: ত্রিভুজের 91টি জালক বিন্দু (বাঁয়ে) এবং 96টি একপদী (monomial), অর্থাৎ x²y-এর মতো মৌলিক পদ, যা দিয়ে বহুপদী গড়া হয় (ডানে)। এই 96টি পদ 91টি বিন্দুতে যেকোনো মান নিতে পারে — অর্থাৎ 96 × 91 ম্যাট্রিক্সটির “পূর্ণ র‍্যাঙ্ক” আছে — এটি দেখানো বক্ররেখাটিকে বাতিল করে দেয়। — চিত্র 3, Tevelev (2026), arXiv:2610.30050, CC BY 4.0.

একই হিসাব একটি সম্পর্কিত, আরও প্রযুক্তিগত প্রশ্নেরও মীমাংসা করে, যেখানে সমতলকে একটি বিন্দুর চারপাশে দুই দিকে ভিন্ন ভিন্ন মাত্রায় বড় করা হয় (“ভারযুক্ত ব্লো-আপ”, weighted blow-ups), যখন সেই মাত্রাগুলোর অনুপাত নয় ছাড়ায় — যা Dumnicki, Harbourne, Küronya, Roé ও Szemberg-এর একটি অনুমানের একটি ক্ষেত্র।

নোটগুলো যুক্তিটিকে একটি প্রমাণ হিসেবে উপস্থাপন করে। এগুলো কোনো স্বাধীন আনুষ্ঠানিক যাচাইয়ের উল্লেখ করে না, যেমন সমকক্ষ পর্যালোচনা বা কম্পিউটার-যাচাইকৃত প্রমাণ।

“তাদের প্রথম মানব পাঠক”

নোটে লেখকের মতামতও আছে। প্রকাশিত পাণ্ডুলিপিগুলো পড়তে গিয়ে Tevelev ভেবেছেন, “আমিই হয়তো তাদের প্রথম মানব পাঠক। এগুলো প্রায় পুরোপুরি অসম্পাদিত মনে হচ্ছিল।” Tevelev সন্দেহ করেন, কোম্পানিটি আশা করেছিল গণিতবিদেরা এগুলো গুছিয়ে দেবেন, এমন একটি সম্পাদনার শ্রম যা “দক্ষতা ও সময় দাবি করে, অথচ মৌলিক গবেষণার সঙ্গে যুক্ত স্বীকৃতির সামান্যই আনে”। আরও অনেকের মতো Tevelev মনে করেন, এই পদ্ধতি পেশাটির ক্ষতি করে, “বিশেষত তরুণদের অনুপ্রেরণা ও প্রশিক্ষণের”।

“একই সঙ্গে, আমি মনে করি এই পাণ্ডুলিপিগুলো একটি বিস্ময়কর সাফল্য,” Tevelev লেখেন: মডেলটি এমন সব সমস্যা সমাধান করেছে, যেগুলোকে বহু বিশেষজ্ঞ নাগালের বাইরে ভাবতেন, আর “গাণিতিক অনুমানের পুরোনো ঝোপঝাড়” “AI-এর আগুনে দ্রুত পুড়ছে”।

প্রস্তাবটি: AI কোম্পানির অর্থে চলা একটি স্বাধীন ফাউন্ডেশন, যা তরুণ গবেষকদের অনুদান, ফেলোশিপ এবং সেরা মডেলগুলোতে প্রবেশাধিকার দেবে, আর তার সমকক্ষ পর্যালোচনা হবে মার্কিন ন্যাশনাল সায়েন্স ফাউন্ডেশনের আদলে।

নোটগুলো জানায়, এগুলো “ChatGPT Astra দিয়ে সম্পাদিত ও চিত্রিত”।