一个1959年的猜想、一份来自OpenAI的证明，和一位读过它的数学家

本文介绍的是一位数学家为解释他人的证明而写的笔记。这里关于OpenAI证明的一切内容都来自这份笔记，属于二手转述。

穿过点的曲线

这个问题源于一道名为插值的中学习题：挑几个x的值，规定一个函数在每个值上应该取多少，总有某个多项式能办到。在平面上，同样的游戏要求一条曲线穿过一组点，只要它的次数足够高就能做到。一条d次曲线——由一个关于x和y、最高次幂为d的多项式方程画出：直线是1次，圆是2次——有**(d+1)(d+2)/2**个系数，而要求它穿过一个点，就相当于一个方程。

现在提出更高的要求：曲线必须以重数m穿过每个点——也就是多次穿过，就像几根分支在那里交叉打结。每个这样的点会施加m(m+1)/2个方程。当d和m都很大时，计数大约是d²/2个系数对r m²/2个条件，因此，对于r个点，只要d/m略大于**√r**，这一计数就能保证曲线存在——确切地说，只要系数的个数多于条件的个数。

永田猜想（1959）把这一点精确化：对于以“非常一般”方式放置的r ≥ 10个点——点与点之间没有任何特殊的巧合，就像随机选取的点那样——任何这样的曲线的次数都大于m√r。条件r ≥ 10是必需的：九个点总是落在一条三次曲线（次数为3的曲线）上，而把这条三次曲线取m次，就得到一条3m次曲线，它m次穿过其中每一个点——正好等于m√9，也正是猜想所排除的等号情形。永田本人证明了r为完全平方数的情形。

笔记中的两个例子：不存在一条9次曲线三次穿过10个一般点中的每一个（只有55个系数对应60个条件——单凭这一点还不足以下结论，因为条件之间可能有重叠；真正排除它的是永田界：9小于3√10 ≈ 9.5）；也不存在一条12次曲线三次穿过16个一般点——这是等号情形12 = 3√16。

Tevelev讲述的证明

参考文献是“OpenAI, Nagata’s conjecture for plane curves”，一份日期为2026年9月23日的OpenAI Math Release预印本，另有于9月23日和10月5日发布的、关于相关问题的配套手稿。马萨诸塞大学阿默斯特分校的Jenia Tevelev为一场报告研究了它，并把讲解整理成这份笔记，希望它“会有用，尤其是对非专业人士”。Tevelev并不主张任何原创性，只是重新组织了论证。

标准的前几步是把平面压缩到一条光滑的三次曲线上，并把r个点合并为一个。按照这份笔记的讲述，新的想法是让这条三次曲线产生一个结点——即曲线自身交叉、把一个环掐断的点——并追踪它的theta函数（在这类曲线上写出函数的标准做法）在这个掐点闭合过程中的变化。接着，一种对偶性把“哪些曲线在这些点上消没？”这个问题换成它的镜像——“在那里可以指定哪些数值？”，剩下的就是整数格点三角形上的插值，即一张有限的数值表要去填满，“而这是直截了当的”。

十六个三重点的情形：三角形中的91个格点（左）和96个单项式，即构成多项式的基本项，例如x²y（右）。证明这96个项在这91个点上可以取任意值——即这个96 × 91矩阵“满秩”——就排除了这条曲线的存在。——图3，Tevelev（2026），arXiv:2610.30050，CC BY 4.0。

同样的计算还解决了一个相关的、更技术性的问题：把平面围绕一点、在两个方向上按不同的倍数放大（“加权爆破”，weighted blow-ups），当这两个倍数之比超过九时的情形——这是Dumnicki、Harbourne、Küronya、Roé和Szemberg提出的一个猜想的一种情形。

笔记把这一论证作为一个证明来呈现。它没有提到任何独立的形式化核查，例如同行评审或计算机验证的证明。

“它们的第一位人类读者”

笔记中也包含了作者的观点。在阅读这些已发布的手稿时，Tevelev“怀疑自己可能是它们的第一位人类读者。它们看起来几乎完全没有经过编辑”。Tevelev猜测，该公司指望数学家来整理它们，而这种编辑工作“需要专业知识和时间，却很少能获得与原创研究相应的认可”。和许多人一样，Tevelev认为这种做法损害了这个行业，“尤其是年轻人的积极性和培养”。

“与此同时，我认为这些手稿是一项惊人的成就，”Tevelev写道：这个模型解决了许多专家认为力所不及的问题，而“数学猜想的陈年灌木丛”正在“被AI之火迅速焚烧”。

笔记的提议是：设立一个由AI公司出资的独立基金会，为年轻研究者提供资助、研究职位和使用最佳模型的机会，并参照美国国家科学基金会的模式进行同行评审。

笔记中写明，它“由ChatGPT Astra编辑并配图”。