ƁOYAYYIYAR LAMBAR MAI SAYARWA MAI YAWO, AN TARE TA

An bayyana amfani da AI. A cikin wani sashe mai taken “Bayyana Amfani da AI”, marubutan sun bayyana cewa sun yi amfani da kayan aikin AI GPT-5.6 Sol Pro wajen shirya takardar, cewa sun yi bita kuma sun tabbatar da duk sakamakon, kuma suna ɗaukar cikakken alhakin abin da ke cikinta. Ana iya samun lambobin shirinsu (code) idan an nema.

Matsalar mai sayarwa mai yawo (travelling salesman problem) tana neman mafi gajeriyar zagayen da ke ziyartar kowane ɗigo na wani rukuni sau ɗaya kuma ya koma farko. Yanzu ka sa ɗigogin su zama ba tare da tsari ba: ka jefa ɗigo n daidai-wa-daida a cikin murabba’i mai gefe 1 ka tambayi tsawon mafi gajeriyar zagaye.

A 1959, Beardwood, Halton da Hammersley sun tabbatar da wata amsa mai ban mamaki. Yayin da n ke girma, tsawon mafi kyawun zagaye kusan tabbas yana zama daidai da β√n, inda β wata madawwamiyar lamba ce ta duniya — iri ɗaya ga kowane watsawa ba tare da tsari ba. Sun kuma nuna cewa 0.625 ≤ β ≤ 0.9212.

Fiye da shekaru sittin da biyar daga baya, babu wanda ya san β. Babu dabara (formula). Manyan gwaje-gwajen kwamfuta sun sa ta kusan 0.7124, amma gwaji ba hujja ba ne. Har zuwa yanzu, mafi kyawun iyakokin da aka tabbatar su ne 0.6277 ≤ β ≤ 0.90367. Irin waɗannan lambobi suna da muhimmanci a harkar jigilar kaya, inda ake amfani da su don ƙiyasta tsawon hanyoyin isar da kaya ba tare da lissafa su ba — shi ya sa sabon sakamakon ya fito daga Makarantar Kasuwanci ta McCombs ta Jami’ar Texas da ke Austin, daga Zhuolun Dong da Junyu Cao.

Sabon iyaka

Takardar ta tabbatar da:

0.6421 ≤ β ≤ 0.8810

kuma, ta amfani da ɗaukar samfur ba tare da tsari ba, ta nuna cewa 0.6536 ≤ β ≤ 0.8749 da yuwuwar aƙalla 1 − 2 × 10⁻⁴. Wannan yuwuwar ta shafi rashin tsarin ɗaukar samfur na kwamfuta ne, ba β kanta ba, wadda lamba ce tabbatacciya.

Daga ƙasa: yanke dogayen gaɓoɓi

Don tabbatar da cewa dole kowane zagaye ya yi tsawo, marubutan suna duba abin da ke faruwa idan ka goge dukkan gaɓoɓin zagaye da suka fi wani tsawo r. Zagayen yana karyewa zuwa guntayen hanya, kuma kowane gunta yana zama a cikin gungun ɗigogi da ke cikin nisan r da juna. Yayin da gungu ke buƙatar ƙarin hanyoyi don a rufe shi, haka zagayen ya ƙara samun dogayen gaɓoɓi. Haɗa wannan a kan kowane r mai yiwuwa yana ba da tsawon zagayen:

ℓ(H) = ∫₀^∞ N_H(r) dr,

inda N_H(r) ke ƙirga gaɓoɓin da suka fi r tsawo.

Ɗigogi keɓaɓɓu da ƙarshen hanyoyi suna ba da tsohon ɓangaren 5/8 = 0.625 — daidai iyakar 1959. Sabon sinadari shi ne jerin gyare-gyare daga ƙananan gungu na ɗigo 3, 4 da 5, kowanne lissafin integral ne a kan wuraren da ɗigogin za su iya kasancewa. Ba za a iya lissafa waɗannan integral daidai ba, don haka marubutan suna yanyanka fagensu zuwa ƙananan cubes kuma suna iyakance kowane cube daga ƙasa, tare da zagaye kowace lamba marar ma’auni (irrational) zuwa alkiblar da ba ta da amfani ga sakamakon, don sakamakon ya zama ainihin iyaka:

β ≥ 0.625 + 0.01113528859 + 0.005040573276 + 0.001015487669 > 0.6421.

Daga sama: karkace-karkace a rukunin biyar-biyar

Iyakar sama tana buƙatar zagaye mai kyau guda ɗaya kawai. Tsohuwar dabara tana yanka murabba’in zuwa zirare a kwance kuma tana share su karkace-karkace, daga hagu zuwa dama, sannan daga dama zuwa hagu. Sabon sauyin: a cikin kowane zirin, ana ɗaukar ɗigogi a rukunin biyar-biyar, kuma ana ziyartar kowane rukuni a mafi kyau daga cikin jerin tsari 24 masu yiwuwa.

Tsawon da ake tsammani na rukuni ɗaya lissafin integral ne mai girma goma sha ɗaya — giɓi biyar a kwance tsakanin ɗigogi da tsayi shida. Marubutan sun iyakance shi ta lissafi a kan raga mai kyau, kuma ta hanyar zagaye lambobi masu ma’auni zuwa alkiblar aminci, suka sami β < 0.8810.

Giɓin da ya rage

Iyakar ta ragu daga faɗin kusan 0.28 zuwa kusan 0.24, amma ƙimar gwaji 0.7124 har yanzu tana nan a tsakiyarta. Raga mafi kyau, ingantattun ƙiyasin fili na faifai masu rufe juna da rukunoni masu tsawo za su iya ƙara matse ta. Rufe sauran nisan, marubutan sun rubuta, “zai iya buƙatar sabbin dabaru.”