پھیری والے سوداگر دا لکیا ہندسہ، گھیرے وچ

مصنوعی ذہانت دی ورتوں ظاہر کیتی گئی۔ “مصنوعی ذہانت دی ورتوں دا انکشاف” وچ، لکھاری دسدے نیں کہ اوہناں نے مقالہ تیار کرن وچ مصنوعی ذہانت دا اوزار GPT-5.6 Sol Pro ورتیا، کہ اوہناں نے سارے نتیجے ویکھے تے پکے کیتے، تے اوہ ایہدے مواد دی پوری ذمہ داری لیندے نیں۔ اوہناں دا کوڈ منگن اُتے ملدا اے۔

پھیری والے سوداگر دا مسئلہ (travelling salesman problem) اوہ سب توں چھوٹا چکر لبھدا اے جیہڑا اک مجموعے دے ہر نقطے اُتے اک واری جاوے تے شروع اُتے پرت آوے۔ ہن نقطیاں نوں اٹکل پچو بنا دیو: 1 پاسے والے مربعے وچ n نقطے اکو جہے کھلارو تے پچھو کہ سب توں چھوٹا چکر کنا لما اے۔

1959 وچ، بیئرڈ ووڈ، ہالٹن تے ہیمرزلی نے اک حیران کن جواب ثابت کیتا۔ جیویں جیویں n ودھدا اے، سب توں چنگے چکر دی لمبائی تقریباً یقینی طور تے β√n دے برابر ہو جاندی اے، جتھے β اک عالمگیر مستقل اے — ہر اٹکل پچو کھلار لئی اکو جہیا۔ اوہناں نے ایہ وی وکھایا کہ 0.625 ≤ β ≤ 0.9212۔

پینہٹھ سالاں توں ودھ بعد وی، β کسے نوں پتا نئیں۔ کوئی فارمولا نئیں۔ وڈے کمپیوٹر تجربے ایہنوں تقریباً 0.7124 دسدے نیں، پر تجربہ ثبوت نئیں ہوندا۔ ہن تک، سب توں چنگیاں ثابت شدہ حداں 0.6277 ≤ β ≤ 0.90367 سن۔ اجیہے مستقل لاجسٹکس وچ اہم نیں، جتھے ایہناں نوں ڈلیوری دے راہواں دی لمبائی حساب لائے بغیر اندازہ لان لئی ورتیا جاندا اے — ایسے لئی نواں نتیجہ آسٹن دی یونیورسٹی آف ٹیکساس دے میک کومبز سکول آف بزنس توں، ژوولون ڈونگ تے جونیو کاؤ ولوں، آیا اے۔

نواں گھیرا

مقالہ ثابت کردا اے:

0.6421 ≤ β ≤ 0.8810

تے، اٹکل پچو نمونے لے کے، وکھاندا اے کہ گھٹو گھٹ 1 − 2 × 10⁻⁴ دے امکان نال 0.6536 ≤ β ≤ 0.8749۔ ایہ امکان کمپیوٹر دے نمونے لین دی اٹکل پچو حالت نال جُڑیا اے، آپ β نال نئیں، جیہڑا اک پکا ہندسہ اے۔

تھلیوں: لمے کنارے کٹو

ایہ ثابت کرن لئی کہ ہر چکر لما ہونا چاہیدا اے، لکھاری ویکھدے نیں کہ کیہ ہوندا اے جے چکر دے اوہ سارے کنارے مٹا دیو جیہڑے کسے لمبائی r توں لمے نیں۔ چکر راہ دے ٹوٹیاں وچ ٹٹ جاندا اے، تے ہر ٹوٹا اجیہے نقطیاں دے گچھے اندر رہندا اے جیہڑے اک دوجے توں r دے اندر نیں۔ کسے گچھے نوں ڈھکن لئی جنیاں ودھ راہواں چاہیدیاں ہون، چکر دے اونے ای ودھ لمے کنارے ہوئے ہون گے۔ ہر ممکن r اُتے ایہنوں جوڑن نال چکر دی لمبائی ملدی اے:

ℓ(H) = ∫₀^∞ N_H(r) dr,

جتھے N_H(r)، r توں لمے کنارے گِندا اے۔

اکلے نقطے تے راہواں دے سرے پرانا 5/8 = 0.625 والا حصہ دیندے نیں — بالکل 1959 والی حد۔ نواں جُز 3، 4 تے 5 نقطیاں والے نکے گچھیاں توں آؤن والیاں درستیاں دی اک لڑی اے، ہر اک نقطیاں دیاں ممکن تھاواں اُتے اک تکامل۔ ایہ تکامل ٹھیک ٹھیک نئیں کڈھے جا سکدے، سو لکھاری اوہناں دے علاقیاں نوں نکے مکعباں وچ کٹدے نیں تے ہر مکعب نوں تھلیوں حد وچ رکھدے نیں، ہر غیر ناطق ہندسے نوں نقصان والے پاسے گول کر کے تاں جے نتیجہ اصلی حد ہووے:

β ≥ 0.625 + 0.01113528859 + 0.005040573276 + 0.001015487669 > 0.6421.

اُتوں: پنج پنج دے بلاکاں وچ ٹیڈھا میڈھا

اُتلی حد لئی صرف اک چنگا چکر چاہیدا اے۔ پرانا نسخہ مربعے نوں لیٹویاں پٹیاں وچ کٹدا اے تے اوہناں نوں ٹیڈھے میڈھے طریقے نال لنگھدا اے، کھبیوں سجے، فیر سجیوں کھبے۔ نواں موڑ: ہر پٹی اندر، نقطے پنج پنج دے بلاکاں وچ لئے جاندے نیں، تے ہر بلاک اوہدیاں 24 ممکن ترتیباں وچوں سب توں چنگی نال لنگھیا جاندا اے۔

اک بلاک دی متوقع لمبائی اک گیاراں بعدی تکامل اے — نقطیاں وچکار پنج لیٹویاں وتھاں تے چھ اُچائیاں۔ لکھاری ایہنوں اک باریک جال اُتے عددی طور تے حد وچ رکھدے نیں، فیر وی ناطق ہندسیاں نوں محفوظ پاسے گول کر کے، تے β < 0.8810 حاصل کردے نیں۔

باقی رہ گیا پاڑ

گھیرا تقریباً 0.28 دی چوڑائی توں تقریباً 0.24 تک تنگ ہو گیا اے، پر تجرباتی قیمت 0.7124 اجے وی چنگی طرح ایہدے اندر اے۔ ہور باریک جال، اک دوجے اُتے چڑھدیاں ٹکیاں دے رقبیاں دے ودھ تکھے اندازے تے لمے بلاک ایہنوں ہور کس سکدے نیں۔ باقی فاصلہ مکانا، لکھاری لکھدے نیں، “شاید نویں طریقیاں دی لوڑ رکھدا اے۔”