हाथ से फेंटने पर ताश की गड्डी अपना क्रम कब भूलती है?

ताश फेंटना प्रायिकता के एक बुनियादी सवाल का ठोस रूप है: किसी यादृच्छिक प्रक्रिया को यह भूलने में कितना समय लगता है कि वह कहाँ से शुरू हुई थी? नई खुली गड्डी क्रम में होती है। हर बार फेंटने पर वह थोड़ी और बिखरती है, जब तक कि मूल क्रम का कोई भी निशान पहचाना न जा सके।

गणितज्ञ उत्तर के दो स्तरों में भेद करते हैं। मिश्रण-समय (mixing time) परिमाण का क्रम बताता है। कटऑफ़ (cutoff) इससे कहीं ज़्यादा बताता है: एक सटीक क्षण के आसपास गड्डी “साफ़ तौर पर बिना मिली” से “पूरी तरह मिली” में लगभग एकाएक बदल जाती है। उससे थोड़ा कम फेंटिए तो आप अब भी पहचान सकते हैं; थोड़ा ज़्यादा फेंटिए तो नहीं।

एक गणितज्ञ की नज़र से फेंटना

ओवरहैंड शफ़ल में आप गड्डी एक हाथ में पकड़ते हैं और पत्तों के छोटे हिस्से दूसरे हाथ में गिराते हैं। शोधपत्र इसका मॉडल यों बनाता है: पड़ोसी पत्तों के बीच के n − 1 अंतरालों में से हर एक स्वतंत्र रूप से प्रायिकता p के साथ काटा जाता है, और बने हुए हिस्सों का क्रम उलट दिया जाता है। गड्डी से एक पूरा गुज़रना एक बार फेंटना माना जाता है।

शोधपत्र के अनुसार, पहले के काम ने परिमाण का क्रम पहले ही तय कर दिया था। पेमैंटल (Pemantle) ने मिश्रण-समय को n² और n² log n के बीच बाँधा; फिर योनासन (Jonasson) ने दिखाया कि n² log n सही क्रम है। लेकिन सटीक स्थिरांक, और क्या कोई तीखा कटऑफ़ होता भी है, यह खुला रहा: डायकोनिस (Diaconis) और पाल (Pal) ने 2022 में ओवरहैंड कटऑफ़ को एक खुली समस्या के रूप में सूचीबद्ध किया था।

परिणाम

युनजियांग जियांग सिद्ध करते हैं कि कटऑफ़ मौजूद है और उसका स्थान तय करते हैं।

प्रमेय। किसी निश्चित कट-प्रायिकता p के लिए, ओवरहैंड शफ़ल प्रथम कोटि में

p² / (2(1 − p)π²) × n² log n

बार फेंटने पर मिल जाता है। उससे थोड़ा पहले गड्डी यादृच्छिक से बहुत दूर रहती है; थोड़ा बाद वह यादृच्छिक के क़रीब होती है।

p = 1/2 के लिए — यानी औसतन आधे अंतरालों पर कट — सूत्र n² log n / (4π²) बन जाता है।

प्रमाण कैसे काम करता है

प्रमाण के तीन स्वतंत्र हिस्से हैं।

निचली सीमा एक अकेले पत्ते का पीछा करती है। उसकी स्थिति उल्लेखनीय रूप से साफ़ ढंग से बदलती है: कोसाइन के आकार के सटीक पैटर्न एक ज्ञात दर से क्षीण होते हैं, सीमित गड्डी के लिए भी। पूरी गड्डी पर जोड़ने पर वे अनुमानित क्षण तक शुरुआती क्रम का एक पहचानने योग्य निशान बनाए रखते हैं।
ऊपरी सीमा ऐसी दो गड्डियों की तुलना करती है जो केवल दो पत्तों की अदला-बदली से अलग हैं। एक जैसे यादृच्छिक कटों के साथ चलाने पर, उनका अंतर ऐसे दो चिह्नित स्थानों जैसा व्यवहार करता है जो गड्डी में भटकते रहते हैं जब तक कि वे पड़ोसी बनकर एक में मिल न सकें। ऐसा होने की दर निचली सीमा से मेल खाती है।
क्रमचयों (permutations) के बारे में एक स्थैतिक असमिका, जिसका फेंटने से कोई संबंध नहीं, इस तुलना को पूरी गड्डी के बारे में एक कथन में बदल देती है। यह शोधपत्र का सबसे तकनीकी हिस्सा है, जो उन तालिकाओं पर पुनरावृत्ति से बना है जो गिनती हैं कि पत्ते ब्लॉकों में कैसे बँटे हैं।

शोधपत्र अव्यवस्था मापने के एक और तरीक़े, सापेक्ष एन्ट्रॉपी, के लिए भी कटऑफ़ सिद्ध करता है, लेकिन उसका सटीक स्थान तय किए बिना।

सूत्र असली गड्डी के बारे में क्या कहता है

p = 1/2 के साथ सूत्र में 52 पत्तों की गड्डी रखने पर 52² × ln 52 / (4π²) मिलता है, यानी लगभग 270 बार फेंटना। यह हमारा अपना हिसाब है, शोधपत्र का आँकड़ा नहीं, और इसे एक मोटा संकेत ही मानना चाहिए: प्रमेय बहुत बड़ी गड्डियों का व्यवहार बताता है, और सुधार-पद का परिमाण नहीं बताया गया है। तुलना के लिए, शोधपत्र रिफ़ल शफ़ल के लिए बेयर (Bayer) और डायकोनिस द्वारा स्थापित (3/2) log₂ n के पैमाने का हवाला देता है — 52 पत्तों के लिए लगभग 8.6, उसी चेतावनी के साथ। n² log n और log n के बीच का फ़ासला ही ओवरहैंड शफ़ल को इतना धीमा बनाता है।

प्रथम कोटि, आदर्शीकृत हाथ

परिणाम प्रथम कोटि का है: यह संक्रमण-खिड़की की चौड़ाई या उसका सटीक आकार नहीं बताता। कट-प्रायिकता स्थिर रखी गई है, और कटों को स्वतंत्र माना गया है, जो असली हाथों का एक आदर्शीकरण है। एक फ़ुटनोट में लेखक बताते हैं कि AI प्रणाली GPT-6 Astra का “तर्क विकसित करने, गणनाएँ जाँचने और प्रस्तुति तैयार करने में उपयोग किया गया”, और गणितीय सामग्री की ज़िम्मेदारी लेखक की है। शोधपत्र एक प्रीप्रिंट है।