♛ ملكات شطرنج تتبع النسبة الذهبية

خذ رقعة شطرنج تمتد إلى ما لا نهاية نحو اليمين ونحو الأعلى. ضع ملكة في الزاوية السفلية اليسرى. ثم انتقل عمودًا واحدًا إلى اليمين وضع ملكة في أدنى مربع لا تهاجمه أي ملكة سابقة: لا في الصف نفسه، ولا على القطر نفسه، ولا على القطر المعاكس نفسه. وكرر ذلك، عمودًا بعد عمود، إلى الأبد.

هذه قاعدة جشعة (greedy): كل ملكة تأخذ أول مكان شاغر دون أي تخطيط مسبق. والصفوف التي تنتج عنها تبدأ هكذا: 0، 2، 4، 1، 3، 8، 10، 12، 14، 5، 7، 18، 6، 21، 9… تبدو عشوائية، لكنها ليست كذلك.

أول 20 عمودًا. الملكات الخضراء المزرقة تقع فوق القطر الرئيسي، والبرتقالية تحته. — الشكل 1، Ho (2026)، arXiv:2609.31336.

خطان وعدد شهير

ارسم الملكات على امتداد أول مئة عمود، فتجدها تقع على خطين مستقيمين. الملكات الواقعة فوق القطر تصعد بميل قريب من 1.618، والواقعة تحته بميل قريب من 0.618. والعددان كلاهما مرتبطان بـالنسبة الذهبية φ = (1 + √5)/2: أحد الخطين هو y = xφ والآخر y = x/φ.

مواقع الملكات في أول 100 عمود، على محاور متساوية المقياس، مع الخطين y = xφ و y = x/φ. — الشكل 2، Ho (2026)، arXiv:2609.31336.

هذه المتتالية مُدرجة في الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة (OEIS) منذ عام 2001. وفي عام 2020، افترض ميشيل ديكينغ وجيفري شاليت ونيل سلون أن الملكات لا تبتعد أبدًا عن هذين الخطين أكثر من مسافة محدودة. وتحقق دونالد كنوث من ذلك عدديًا حتى مليار عمود. لكن أحدًا لم يبرهنه.

المبرهنة

يبرهن بون سوان هو، من جامعة سنغافورة الوطنية، ذلك الآن بحدود صريحة. لكل عمود n:

• تبعد الملكة الواقعة فوق القطر عن الخط y = xφ أقل من 5/φ ≈ 3.09 مربع؛
• وتبعد الملكة الواقعة تحته عن الخط y = x/φ أقل من 4 + 5/φ ≈ 7.09 مربع.

لماذا النسبة الذهبية؟ افترض أن نسبة θ من الملكات تقع فوق القطر. إن حساب الطريقة التي تتقاسم بها العائلتان الصفوف والأقطار يُلزم θ بأن تحقق θ² + θ = 1، وحلها الموجب هو 1/φ. والصعوبة الحقيقية هي إثبات أن الخطأ لا يكبر أبدًا. ويرجع كل شيء إلى تمهيدية أساسية واحدة: الملكة رقم j تحت القطر تقع دائمًا في حدود 4 أقطار من القطر السفلي رقم j.

برهان تحققت منه الآلة

لإثبات هذه التمهيدية، يصف هو الرقعة قبل كل عمود بـ«حالة محلية» صغيرة: بضعة أعداد إضافة إلى كلمات قصيرة من أبجدية ذات أربعة أحرف تسجل مواقع الملكات العالية. ويحدد «مخطط تاريخ» منتهٍ من كلمات ذات 12 حرفًا (2,092 رأسًا و2,603 أضلاع) أي الأحرف يمكن أن يتبع أيها. ثم يستكشف حاسوب كل الحالات التي يمكن بلوغها انطلاقًا من العمود 30: 7,014 حالة، تحترم كلها الحدود المطلوبة. ويُظهر استدلال بالاستقراء أن المتتالية الحقيقية لا تغادر هذه المجموعة المنتهية أبدًا.

يصل برنامجان مستقلان، لا يتقاسمان أي شيفرة، إلى الحالات نفسها. وترافق الورقةَ صياغةٌ صورية في مساعد البرهان Lean، والشيفرة كلها متاحة للعموم.

إضافة: لعبة ومولّد سريع

تخفي الملكات لعبة. حرّك ملكة واحدة نحو اليسار أو الأسفل أو قطريًا نحو اليسار؛ ومن لا يستطيع الحركة يخسر. والمربعات الخاسرة هي بالضبط مواقع الملكات الجشعة. وإذا حذفت الحركة على القطر المعاكس، تحصل على لعبة نيم وايتهوف (Wythoff’s Nim)، وهي لعبة معروف أصلًا أن النسبة الذهبية تحكمها.

ويقدم البرهان أيضًا خوارزمية مقتصدة على نحو لافت. فقد ولّد برنامج هو عشرة مليارات ملكة في نحو 25 ثانية مستخدمًا 1.76 ميغابايت من الذاكرة، مقابل 49 ثانية وأكثر من 6 غيغابايت لنسخة مكيّفة من برنامج كنوث. ويتبين أن كل قطر في الرقعة يحمل ملكة واحدة بالضبط.

عُثر عليه بمساعدة ذكاء اصطناعي

تنتهي الورقة بتصريح: «عُثر على البرهان بمساعدة GPT-6 Pro، الذي أنتج أيضًا مسودة أولى لهذه الورقة». ثم رُوجعت لاحقًا باستخدام Claude Opus 5.5 بتوجيه من المؤلف. ويبقى سؤال مفتوح: الحدود الدنيا الأضيق التي وضعها كنوث، والمؤكدة حاسوبيًا حتى مئة مليار عمود، لا تزال تنتظر برهانًا.