♛ स्वर्ण अनुपात पर चलने वाली शतरंज की रानियाँ

एक ऐसी शतरंज की बिसात लीजिए जो दाईं ओर और ऊपर की ओर हमेशा के लिए फैली हुई है। सबसे नीचे बाएँ कोने में एक रानी रखिए। फिर एक कॉलम दाईं ओर जाइए और रानी को उस सबसे निचले खाने पर रखिए जिस पर पहले की कोई रानी हमला नहीं करती — न उसी पंक्ति में, न उसी विकर्ण पर, न उसी प्रति-विकर्ण पर। यही दोहराते जाइए, कॉलम दर कॉलम, हमेशा के लिए।

यह एक लालची (greedy) नियम है: हर रानी आगे की योजना बनाए बिना पहली ख़ाली जगह ले लेती है। इससे बनने वाली पंक्तियाँ शुरू होती हैं 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… से। ये बेतरतीब लगती हैं। पर हैं नहीं।

पहले 20 कॉलम। हरी-नीली रानियाँ मुख्य विकर्ण के ऊपर हैं, नारंगी रानियाँ नीचे। — चित्र 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

दो रेखाएँ और एक मशहूर संख्या

पहले सौ कॉलमों की रानियों को आलेखित कीजिए, तो वे दो सीधी रेखाओं पर आ जाती हैं। विकर्ण के ऊपर वाली रानियाँ लगभग 1.618 की ढलान से चढ़ती हैं; नीचे वाली लगभग 0.618 की ढलान से। ये दोनों संख्याएँ स्वर्ण अनुपात φ = (1 + √5)/2 से जुड़ी हैं: एक रेखा y = xφ है, दूसरी y = x/φ।

पहले 100 कॉलमों में रानियों की स्थितियाँ, समान पैमाने वाले अक्षों पर, रेखाओं y = xφ और y = x/φ के साथ। — चित्र 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

यह अनुक्रम 2001 से पूर्णांक अनुक्रमों के ऑनलाइन विश्वकोश (OEIS) में दर्ज है। 2020 में मिशेल डेकिंग, जेफ़्री शैलिट और नील स्लोन ने अनुमान लगाया कि रानियाँ इन दो रेखाओं से एक सीमित दूरी से ज़्यादा कभी नहीं भटकतीं। डोनाल्ड क्नुथ ने संख्यात्मक रूप से एक अरब कॉलम तक इसकी जाँच की। किसी ने इसे सिद्ध नहीं किया था।

प्रमेय

नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ़ सिंगापुर के बून सुआन हो अब इसे स्पष्ट सीमाओं के साथ सिद्ध करते हैं। हर कॉलम n के लिए:

• विकर्ण के ऊपर वाली रानी रेखा y = xφ से 5/φ ≈ 3.09 खानों से कम दूरी पर है;
• उसके नीचे वाली रानी रेखा y = x/φ से 4 + 5/φ ≈ 7.09 खानों से कम दूरी पर है।

स्वर्ण अनुपात ही क्यों? मान लीजिए रानियों का θ हिस्सा विकर्ण के ऊपर है। यह गिनने से कि दोनों समूह पंक्तियों और विकर्णों को कैसे बाँटते हैं, θ को θ² + θ = 1 को संतुष्ट करना पड़ता है, जिसका धनात्मक हल 1/φ है। असली कठिनाई यह दिखाना है कि त्रुटि कभी बढ़ती नहीं। सब कुछ एक मुख्य प्रमेयिका (lemma) पर टिका है: विकर्ण के नीचे की j-वीं रानी हमेशा j-वें निचले विकर्ण से 4 विकर्णों के भीतर रहती है।

मशीन से जाँचा गया प्रमाण

उस प्रमेयिका को सिद्ध करने के लिए, हो हर कॉलम से पहले की बिसात को एक छोटी “स्थानीय अवस्था” से दर्शाते हैं: कुछ संख्याएँ, और चार अक्षरों वाली वर्णमाला में छोटे शब्द जो दर्ज करते हैं कि ऊँची रानियाँ कहाँ हैं। 12 अक्षरों वाले शब्दों का एक सीमित “इतिहास ग्राफ़” (2,092 शीर्ष, 2,603 किनारे) बताता है कि कौन-सा अक्षर किसके बाद आ सकता है। फिर एक कंप्यूटर कॉलम 30 से पहुँचने योग्य हर अवस्था की छानबीन करता है: 7,014 अवस्थाएँ, और हर एक आवश्यक सीमाओं का पालन करती है। एक आगमन (induction) तर्क दिखाता है कि असली अनुक्रम इस सीमित समुच्चय से कभी बाहर नहीं जाता।

दो स्वतंत्र प्रोग्राम, जिनमें कोई कोड साझा नहीं है, एक ही अवस्थाओं तक पहुँचते हैं। शोधपत्र के साथ Lean प्रूफ़ असिस्टेंट में एक औपचारिक रूप भी है, और सारा कोड सार्वजनिक है।

बोनस: एक खेल और एक तेज़ जनरेटर

इन रानियों में एक खेल छिपा है। किसी एक रानी को बाईं ओर, नीचे या तिरछे बाईं ओर चलाइए; जो चाल नहीं चल सकता, वह हारता है। हारने वाले खाने ठीक-ठीक लालची रानियाँ ही हैं। प्रति-विकर्ण वाली चाल हटा दीजिए, तो वाइथॉफ़ का निम (Wythoff’s Nim) मिलता है, एक ऐसा खेल जिसके बारे में पहले से पता है कि उस पर स्वर्ण अनुपात का राज है।

प्रमाण से एक बेहद किफ़ायती एल्गोरिद्म भी निकलता है। हो के प्रोग्राम ने 1.76 मेगाबाइट मेमोरी से लगभग 25 सेकंड में दस अरब रानियाँ बनाईं, जबकि क्नुथ के प्रोग्राम के एक रूपांतर को 49 सेकंड और 6 गीगाबाइट से ज़्यादा लगे। पता चलता है कि बिसात के हर विकर्ण पर ठीक एक रानी होती है।

AI की मदद से खोजा गया

शोधपत्र एक घोषणा के साथ ख़त्म होता है: “प्रमाण GPT-6 Pro की मदद से खोजा गया, जिसने इस शोधपत्र का शुरुआती मसौदा भी तैयार किया।” बाद में लेखक के निर्देशन में Claude Opus 5.5 के साथ इसे संशोधित किया गया। एक सवाल अब भी खुला है: क्नुथ की ज़्यादा कसी हुई निचली सीमाएँ, जिनकी कंप्यूटर से सौ अरब कॉलम तक पुष्टि हो चुकी है, अब भी प्रमाण की प्रतीक्षा में हैं।