♛ தங்க விகிதத்தைப் பின்பற்றும் சதுரங்க ராணிகள்

வலதுபுறமும் மேல்நோக்கியும் என்றென்றும் நீளும் ஒரு சதுரங்கப் பலகையை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். கீழ் இடது மூலையில் ஒரு ராணியை வையுங்கள். பிறகு ஒரு நெடுவரிசை வலப்புறம் நகர்ந்து, முந்தைய எந்த ராணியும் தாக்காத மிகக் கீழான கட்டத்தில் ஒரு ராணியை வையுங்கள் — அதே கிடைவரிசையில் அல்ல, அதே மூலைவிட்டத்தில் அல்ல, அதே எதிர்-மூலைவிட்டத்திலும் அல்ல. நெடுவரிசை நெடுவரிசையாக, என்றென்றும் மீண்டும் செய்யுங்கள்.

இது ஒரு பேராசை (greedy) விதி: ஒவ்வொரு ராணியும் முன்கூட்டித் திட்டமிடாமல் முதல் காலி இடத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது. இது உருவாக்கும் கிடைவரிசைகள் இப்படித் தொடங்குகின்றன: 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… அவை ஒழுங்கற்றவையாகத் தோன்றுகின்றன. ஆனால் அப்படி இல்லை.

முதல் 20 நெடுவரிசைகளுக்கான சதுரங்கப் பலகைக் கட்டம்; டீல் நிற ராணிகள் மூலைவிட்டத்துக்கு மேலே செங்குத்தாக ஏறுகின்றன, ஆரஞ்சு நிற ராணிகள் அதற்குக் கீழே.

முதல் 20 நெடுவரிசைகள். டீல் நிற ராணிகள் முதன்மை மூலைவிட்டத்துக்கு மேலேயும், ஆரஞ்சு நிறமானவை கீழேயும் உள்ளன. — படம் 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

இரண்டு கோடுகளும் ஒரு புகழ்பெற்ற எண்ணும்

முதல் நூறு நெடுவரிசைகளில் ராணிகளை வரைந்தால், அவை இரண்டு நேர்கோடுகளில் விழுகின்றன. மூலைவிட்டத்துக்கு மேலே உள்ள ராணிகள் 1.618-க்கு அருகிலான சாய்வுடன் ஏறுகின்றன; கீழே உள்ளவை 0.618-க்கு அருகிலான சாய்வுடன். இரு எண்களும் தங்க விகிதத்துடன் (golden ratio), φ = (1 + √5)/2, பிணைந்தவை: ஒரு கோடு y = xφ, மற்றொன்று y = x/φ.

முதல் நூறு நெடுவரிசைகளுக்கான ராணிகளின் நிலைகள்; y = x ஃபை மற்றும் y = x வகுத்தல் ஃபை எனப் பெயரிடப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளை உருவாக்குகின்றன.

முதல் 100 நெடுவரிசைகளுக்கான ராணிகளின் நிலைகள், சம அளவுகோல் அச்சுகளில், y = xφ மற்றும் y = x/φ கோடுகளுடன். — படம் 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

இந்தத் தொடர் 2001 முதல் முழு எண் தொடர்களின் இணையக் கலைக்களஞ்சியத்தில் (OEIS) உள்ளது. 2020-இல், Michel Dekking, Jeffrey Shallit, Neil Sloane ஆகியோர், ராணிகள் இந்த இரண்டு கோடுகளிலிருந்து ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட தூரத்துக்கு மேல் ஒருபோதும் விலகுவதில்லை என்று ஊகித்தனர். Donald Knuth இதை ஒரு பில்லியன் நெடுவரிசைகள் வரை எண்ணியல் முறையில் சரிபார்த்தார். யாரும் இதை நிரூபித்திருக்கவில்லை.

தேற்றம்

சிங்கப்பூர் தேசியப் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த Boon Suan Ho இப்போது வெளிப்படையான வரம்புகளுடன் இதை நிரூபிக்கிறார். ஒவ்வொரு நெடுவரிசை n-க்கும்:

மூலைவிட்டத்துக்கு மேலே உள்ள ராணி y = xφ கோட்டிலிருந்து 5/φ ≈ 3.09 கட்டங்களுக்கும் குறைவான தூரத்தில் உள்ளது;
அதற்குக் கீழே உள்ள ராணி y = x/φ கோட்டிலிருந்து 4 + 5/φ ≈ 7.09 கட்டங்களுக்கும் குறைவான தூரத்தில் உள்ளது.

ஏன் தங்க விகிதம்? ராணிகளில் θ என்ற பின்னம் மூலைவிட்டத்துக்கு மேலே இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இரண்டு குடும்பங்களும் கிடைவரிசைகளையும் மூலைவிட்டங்களையும் எப்படிப் பகிர்ந்துகொள்கின்றன என்று எண்ணுவது, θ-ஐ θ² + θ = 1 என்பதை நிறைவு செய்யக் கட்டாயப்படுத்துகிறது; அதன் நேர்மத் தீர்வு 1/φ. உண்மையான சிரமம், பிழை ஒருபோதும் வளராது என்று காட்டுவதுதான். எல்லாமே ஒரு முக்கியத் துணைத்தேற்றத்தில் (lemma) வந்து நிற்கிறது: மூலைவிட்டத்துக்குக் கீழே உள்ள j-ஆவது ராணி எப்போதும் j-ஆவது கீழ் மூலைவிட்டத்திலிருந்து 4 மூலைவிட்டங்களுக்குள் இருக்கிறது.

இயந்திரம் சரிபார்த்த நிரூபணம்

அந்தத் துணைத்தேற்றத்தை நிரூபிக்க, Ho ஒவ்வொரு நெடுவரிசைக்கு முன்பும் பலகையை ஒரு சிறிய «உள்ளூர் நிலை» மூலம் விவரிக்கிறார்: சில எண்களும், மேலே உள்ள ராணிகள் எங்கே உள்ளன என்பதைப் பதிவு செய்யும் நான்கு எழுத்து அகரவரிசையிலான குறுகிய சொற்களும். 12 எழுத்துச் சொற்களின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு «வரலாற்று வரைபடம்» (2,092 முனைகள், 2,603 விளிம்புகள்) எந்த எழுத்து எதைத் தொடரலாம் என்று சொல்கிறது. பின்னர் ஒரு கணினி நெடுவரிசை 30-இலிருந்து எட்டக்கூடிய ஒவ்வொரு நிலையையும் ஆராய்கிறது: 7,014 நிலைகள், ஒவ்வொன்றும் தேவையான வரம்புகளை மதிக்கிறது. உண்மையான தொடர் இந்த வரையறுக்கப்பட்ட கணத்தை ஒருபோதும் விட்டு வெளியேறுவதில்லை என்று ஒரு தொகுத்தறிதல் (induction) காட்டுகிறது.

எந்தக் குறியீட்டையும் பகிர்ந்துகொள்ளாத இரண்டு சுயாதீன நிரல்கள் அதே நிலைகளை அடைகின்றன. Lean நிரூபண உதவியில் ஒரு முறைப்படுத்தல் கட்டுரையுடன் வருகிறது; எல்லாக் குறியீடும் பொதுவில் உள்ளது.

கூடுதலாக: ஒரு விளையாட்டும் வேகமான உருவாக்கியும்

ராணிகளுக்குள் ஒரு விளையாட்டு ஒளிந்திருக்கிறது. ஒரு ராணியை இடப்புறமோ, கீழோ, அல்லது இடப்புறம் நோக்கி மூலைவிட்டமாகவோ நகர்த்துங்கள்; நகர முடியாதவர் தோற்கிறார். தோல்விக் கட்டங்கள் சரியாகப் பேராசை ராணிகளே. எதிர்-மூலைவிட்ட நகர்வை நீக்கினால் Wythoff’s Nim கிடைக்கிறது — தங்க விகிதத்தால் ஆளப்படுவதாக ஏற்கெனவே அறியப்பட்ட விளையாட்டு அது.

நிரூபணம் வியக்கத்தக்க வகையில் சிக்கனமான ஒரு வழிமுறையையும் தருகிறது. Ho-வின் நிரல் 1.76 மெகாபைட் நினைவகத்தைப் பயன்படுத்தி பத்து பில்லியன் ராணிகளைச் சுமார் 25 வினாடிகளில் உருவாக்கியது; Knuth-இன் நிரலின் ஒரு தழுவலுக்கு 49 வினாடிகளும் 6 ஜிகாபைட்டுக்கு மேலும் தேவைப்பட்டன. பலகையின் ஒவ்வொரு மூலைவிட்டத்திலும் சரியாக ஒரே ஒரு ராணி இருப்பதும் தெரியவருகிறது.

ஒரு AI உடன் கண்டறியப்பட்டது

கட்டுரை ஒரு அறிவிப்புடன் முடிகிறது: «நிரூபணம் GPT-6 Pro உடன் கண்டறியப்பட்டது; இக்கட்டுரையின் முதல் வரைவையும் அதுவே உருவாக்கியது.» பின்னர் ஆசிரியரின் வழிகாட்டுதலில் Claude Opus 5.5 உடன் அது திருத்தப்பட்டது. ஒரு கேள்வி இன்னும் திறந்தே உள்ளது: நூறு பில்லியன் நெடுவரிசைகள் வரை கணினியால் உறுதிப்படுத்தப்பட்ட Knuth-இன் இறுக்கமான கீழ் வரம்புகள் இன்னும் நிரூபணத்துக்காகக் காத்திருக்கின்றன.