♛ బంగారు నిష్పత్తిని అనుసరించే చదరంగం రాణులు
కుడి వైపుకూ పైకీ ఎప్పటికీ విస్తరించే చదరంగం బోర్డు తీసుకోండి. ఎడమ దిగువ మూలలో ఒక రాణిని పెట్టండి. తర్వాత ఒక నిలువు వరుస కుడి వైపుకు జరిగి, అంతకు ముందున్న ఏ రాణీ దాడి చేయని అత్యంత దిగువ గడిలో ఒక రాణిని పెట్టండి — అదే అడ్డు వరుసలో కాదు, అదే కర్ణంలో కాదు, అదే ప్రతికర్ణంలో కాదు. నిలువు వరుస తర్వాత నిలువు వరుస, ఎప్పటికీ ఇలాగే చేస్తూ పోండి.
ఇది ఒక అత్యాశ (greedy) నియమం: ప్రతి రాణీ ముందుచూపు లేకుండా మొదటి ఖాళీ స్థానాన్ని తీసుకుంటుంది. దాని నుంచి వచ్చే అడ్డు వరుసలు ఇలా మొదలవుతాయి: 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… అవి అస్తవ్యస్తంగా కనిపిస్తాయి. కానీ అవి అలా కాదు.
మొదటి 20 నిలువు వరుసలు. నీలి-ఆకుపచ్చ రాణులు ప్రధాన కర్ణానికి పైన, నారింజ రాణులు కింద. — చిత్రం 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
రెండు రేఖలు, ఒక ప్రసిద్ధ సంఖ్య
మొదటి వంద నిలువు వరుసల్లోని రాణులను గ్రాఫ్ వేస్తే, అవి రెండు సరళ రేఖలపై పడతాయి. కర్ణానికి పైనున్న రాణులు 1.618 కి దగ్గరి వాలుతో ఎగబాకుతాయి; కిందివి 0.618 కి దగ్గరి వాలుతో. రెండు సంఖ్యలూ బంగారు నిష్పత్తితో (golden ratio) ముడిపడి ఉన్నాయి, φ = (1 + √5)/2: ఒక రేఖ y = xφ, మరొకటి y = x/φ.
సమాన స్కేలు అక్షాలపై, మొదటి 100 నిలువు వరుసల్లో రాణుల స్థానాలు, y = xφ, y = x/φ రేఖలతో. — చిత్రం 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
ఈ శ్రేణి 2001 నుంచి పూర్ణాంక శ్రేణుల ఆన్‌లైన్ విజ్ఞాన సర్వస్వం (OEIS) లో ఉంది. 2020లో మిషెల్ డెకింగ్, జెఫ్రీ షాలిట్, నీల్ స్లోన్ — రాణులు ఈ రెండు రేఖల నుంచి ఒక పరిమిత దూరం కంటే ఎక్కువ ఎప్పుడూ తప్పుకోవని ఊహించారు. డొనాల్డ్ క్నూత్ దీన్ని సంఖ్యాత్మకంగా వంద కోట్ల నిలువు వరుసల వరకు తనిఖీ చేశారు. ఎవరూ దీన్ని నిరూపించలేదు.
సిద్ధాంతం
నేషనల్ యూనివర్సిటీ ఆఫ్ సింగపూర్‌కు చెందిన బూన్ సువాన్ హో ఇప్పుడు దీన్ని స్పష్టమైన హద్దులతో నిరూపిస్తున్నారు. ప్రతి నిలువు వరుస n కీ:
- కర్ణానికి పైనున్న రాణి y = xφ రేఖ నుంచి 5/φ ≈ 3.09 గడుల కంటే తక్కువ దూరంలో ఉంటుంది;
- దాని కిందున్న రాణి y = x/φ రేఖ నుంచి 4 + 5/φ ≈ 7.09 గడుల కంటే తక్కువ దూరంలో ఉంటుంది.
బంగారు నిష్పత్తే ఎందుకు? రాణుల్లో θ భాగం కర్ణానికి పైన ఉన్నాయనుకోండి. రెండు కుటుంబాలూ అడ్డు వరుసలను, కర్ణాలను ఎలా పంచుకుంటాయో లెక్కిస్తే θ తప్పనిసరిగా θ² + θ = 1 ని సంతృప్తిపరచాలి, దాని ధన పరిష్కారం 1/φ. అసలు కష్టం, లోపం ఎప్పుడూ పెరగదని చూపడమే. అంతా ఒక కీలక ఉపసిద్ధాంతానికి (lemma) వస్తుంది: కర్ణానికి కిందున్న j-వ రాణి ఎప్పుడూ j-వ దిగువ కర్ణం నుంచి 4 కర్ణాల లోపలే ఉంటుంది.
యంత్రం తనిఖీ చేసిన నిరూపణ
ఆ ఉపసిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి, హో ప్రతి నిలువు వరుసకు ముందున్న బోర్డును ఒక చిన్న ‘స్థానిక స్థితి’తో వర్ణిస్తారు: కొన్ని సంఖ్యలు, ఎత్తైన రాణులు ఎక్కడున్నాయో నమోదు చేసే నాలుగు అక్షరాల వర్ణమాలలో చిన్న పదాలు. 12-అక్షరాల పదాల పరిమిత ‘చరిత్ర గ్రాఫ్’ (2,092 శీర్షాలు, 2,603 అంచులు) ఏ అక్షరం తర్వాత ఏ అక్షరం రావచ్చో చెబుతుంది. తర్వాత ఒక కంప్యూటర్ నిలువు వరుస 30 నుంచి చేరుకోగల ప్రతి స్థితినీ అన్వేషిస్తుంది: 7,014 స్థితులు, ప్రతి ఒక్కటీ అవసరమైన హద్దులను పాటిస్తుంది. నిజమైన శ్రేణి ఈ పరిమిత సమితిని ఎప్పుడూ వదలదని ఒక ఆగమనం (induction) చూపుతుంది.
ఏ కోడ్‌నూ పంచుకోని రెండు స్వతంత్ర ప్రోగ్రాములు అవే స్థితులను చేరుకుంటాయి. Lean నిరూపణ సహాయకంలో ఒక లాంఛనీకరణ పత్రంతో పాటు వస్తుంది, మొత్తం కోడ్ బహిరంగంగా ఉంది.
బోనస్: ఒక ఆట, ఒక వేగవంతమైన జనకం
ఈ రాణుల్లో ఒక ఆట దాగి ఉంది. ఒకే రాణిని ఎడమకు, కిందికి, లేదా ఎడమ వైపు కర్ణంగా కదపండి; కదపలేనివారు ఓడిపోతారు. ఓడిపోయే గడులు సరిగ్గా అత్యాశ రాణులే. ప్రతికర్ణ కదలికను తీసేస్తే మీకు Wythoff’s Nim వస్తుంది — బంగారు నిష్పత్తి పాలిస్తుందని ఇప్పటికే తెలిసిన ఆట.
ఈ నిరూపణ అద్భుతంగా పొదుపైన ఒక అల్గారిథంను కూడా ఇస్తుంది. హో ప్రోగ్రాం సుమారు 25 సెకన్లలో వెయ్యి కోట్ల రాణులను ఉత్పత్తి చేసింది, కేవలం 1.76 మెగాబైట్ల మెమరీ వాడుతూ — క్నూత్ ప్రోగ్రాం యొక్క ఒక అనుసరణకు 49 సెకన్లు, 6 గిగాబైట్లకు పైగా పట్టాయి. బోర్డులోని ప్రతి కర్ణంలోనూ సరిగ్గా ఒకే రాణి ఉంటుందని తేలింది.
AI సాయంతో కనుగొన్నది
పత్రం ఒక ప్రకటనతో ముగుస్తుంది: “నిరూపణను GPT-6 Pro తో కనుగొన్నాం, ఈ పత్రపు ప్రాథమిక ముసాయిదాను కూడా అదే తయారుచేసింది.” తర్వాత రచయిత మార్గదర్శకత్వంలో Claude Opus 5.5 తో దాన్ని సవరించారు. ఒక ప్రశ్న ఇంకా తెరిచే ఉంది: క్నూత్ యొక్క మరింత బిగువైన దిగువ హద్దులు, కంప్యూటర్ ద్వారా పదివేల కోట్ల నిలువు వరుసల వరకు ధృవీకరించబడినవి, ఇంకా నిరూపణ కోసం ఎదురుచూస్తున్నాయి.