EL CORREDOR SOLITARIO POR FIN GANA ALGO DE ESPACIO
Imagina una pista circular de una vuelta de longitud. Varios corredores salen del mismo punto en el mismo instante, cada uno a su propia velocidad constante, todas distintas. La conjetura del corredor solitario afirma que cada corredor, en algún momento, se encontrará solo: a una distancia de al menos 1/(n + 1) de vuelta de todos los demás, cuando hay n + 1 corredores en total.
El problema es más antiguo que su nombre. Según Xiyu Hu (Universidad de la Academia China de Ciencias) y Yifan Jing (Universidad Estatal de Ohio), se remonta a la tesis doctoral de Jörg Wills de 1965 sobre la aproximación de números mediante fracciones. Cusick dio una versión equivalente en términos de líneas de visión bloqueadas por obstáculos; los corredores llegaron más tarde, con una reformulación de Goddyn. Desde entonces se ha relacionado con trayectorias de billar, coloraciones de grafos y flujos en estructuras abstractas llamadas matroides.
Medir la soledad
Los matemáticos suelen fijar un corredor y mirar las velocidades de los demás respecto a él: un conjunto V de n números enteros positivos distintos. En el instante t, un corredor de velocidad v se encuentra en la posición vt de la pista, y su distancia a la salida se escribe ∥vt∥: la distancia de vt al número entero más cercano. La soledad máxima de V es
ML(V) = máximo sobre t del mínimo sobre v en V de ∥vt∥
El mejor momento, juzgado por el corredor más cercano. La conjetura afirma que ML(V) ≥ 1/(n + 1), y eso sería óptimo: para las velocidades 1, 2, …, n, la soledad máxima es exactamente 1/(n + 1). Con dos corredores en movimiento a velocidades 1 y 2, por ejemplo, el corredor fijo puede estar como mucho a un tercio de vuelta de ambos, en el instante 1/3.
La mitad fácil
La mitad de la respuesta sale barata. Los instantes en que un corredor dado está a menos de δ de la salida ocupan una fracción 2δ del reloj. Con n corredores, si 2nδ es menor que 1, estas ventanas de tiempo no pueden cubrirlo todo, así que algún momento queda libre de todas ellas. Haciendo crecer δ hasta su límite se obtiene
ML(V) ≥ 1/(2n)
Eso es aproximadamente la mitad de lo que predice la conjetura. Ir más allá ha resultado obstinadamente difícil. Los autores repasan la historia: durante décadas, solo mejoras del orden de 1/n²; después, avances de Perarnau y Serra, de Terence Tao en 2018 y de Benjamin Bedert en 2025. Pero todos comparten una debilidad: en relación con 1/(2n), la mejora tiende a cero a medida que crece el número de corredores.
Una mejora que no se desvanece
El nuevo teorema cambia eso:
ML(V) > (1 + c)/(2n)
para una constante fija c > 0 y todo conjunto de n ≥ 2 velocidades. El margen extra es ahora una fracción constante de la cota fácil, haya los corredores que haya. La constante es explícita pero no se calcula en el artículo, y los autores no intentan optimizarla. No alcanza el 1/(n + 1) conjeturado; es la primera mejora que no se disuelve.
La demostración examina cómo se solapan las «ventanas de peligro» de los distintos corredores. Algunas se solapan porque comparten centro: los corredores cuyas velocidades tienen divisores comunes pasan por la salida a la vez. Otras se solapan en centros distintos. Para el primer tipo, los autores refinan un argumento sobre divisores comunes grandes debido a Green y Walker. Para el segundo, demuestran una nueva desigualdad geométrica: cuando las ventanas se ensanchan alrededor de sus centros, sus solapamientos deben crecer más que proporcionalmente. En ambos casos, el tiempo no cubierto no puede reducirse a nada.
Como extra, el resultado mejora una cota inferior para el «problema del pijama»: cuántas copias giradas y estiradas de un patrón de rayas hacen falta para cubrir el plano.
Quién hizo qué
El artículo incluye una declaración explícita sobre el uso de IA. La estrategia y el marco fueron de los propios autores. ChatGPT 6 Pro y ChatGPT 6 Astra se usaron sobre todo para comprobar argumentos, convertir demostraciones informales en rigurosas y explorar refinamientos. Pro sugirió introducir sumas sobre divisores comunes y, más tarde, corrigió «algunos pequeños huecos» en una primera versión de la demostración de la desigualdad clave. Las demostraciones finales las escribieron los autores. Su veredicto sobre las herramientas es preciso: «los modelos no fueron capaces de mejorar por sí solos la cota del corredor solitario».
Sesenta años después de Wills, la soledad garantizada a cada corredor tiene, por primera vez, un margen que se mantiene.