MAI GUDU SHI KAƊAI YA SAMU ƊAN FILI A ƘARSHE

Ka yi tunanin filin gudu mai da’ira wanda tsawonsa zagaye ɗaya ne. Masu gudu da yawa suna farawa daga wuri ɗaya a lokaci guda, kowanne da nasa gudun da ba ya canzawa, kuma duk gudun ya bambanta. Hasashen mai gudu shi kaɗai yana cewa kowane mai gudu zai, a wani lokaci, sami kansa shi kaɗai: a nisan aƙalla 1/(n + 1) na zagaye daga duk sauran, idan akwai masu gudu n + 1 gaba ɗaya.

Matsalar ta girmi sunanta. A cewar Xiyu Hu (Jami’ar Kwalejin Kimiyya ta China) da Yifan Jing (Jami’ar Jihar Ohio), ta samo asali ne daga kundin digirin digirgir na Jörg Wills a 1965 kan kusanta lambobi da ɓangarori (fractions). Cusick ya ba da wani siga makamancinta ta fuskar layukan gani da cikas ke toshewa; masu gudu sun zo daga baya, tare da sake bayanin Goddyn. Tun daga lokacin an danganta ta da hanyoyin ƙwallon billiard, canza launin zane-zanen hanyoyin sadarwa (graphs) da gudana a cikin tsare-tsare marasa zahiri da ake kira matroid.

Auna kaɗaici

Masana lissafi galibi suna kafa mai gudu ɗaya sannan su duba gudun sauran idan aka kwatanta da shi: wani saitin V na lambobi cikakku masu kyau n daban-daban. A lokacin t, mai gudu mai gudun v yana a matsayi vt a kewayen filin, kuma ana rubuta nisansa daga farkon a matsayin ∥vt∥ — nisa daga vt zuwa lamba cikakkiya mafi kusa. Matsakaicin kaɗaici na V shi ne

ML(V) = mafi girma bisa t na mafi ƙanƙanta bisa v cikin V na ∥vt∥

Mafi kyawun lokaci, wanda ake auna shi da mai gudu mafi kusa. Hasashen yana cewa ML(V) ≥ 1/(n + 1), kuma hakan zai zama iyaka madaidaiciya: ga gudun 1, 2, …, n, matsakaicin kaɗaici daidai yake da 1/(n + 1). Da masu gudu biyu masu motsi a gudun 1 da 2, misali, mai gudun da aka kafa zai iya yin nisa da su duka biyun har kashi ɗaya cikin uku na zagaye kawai — a lokacin 1/3.

Rabin mai sauƙi

Rabin amsar yana zuwa ba tare da wahala ba. Lokutan da wani mai gudu yake cikin nisan δ daga farkon suna cika kaso 2δ na agogo. Da masu gudu n, idan 2nδ bai kai 1 ba, waɗannan tagogin lokaci ba za su iya rufe komai ba, don haka akwai wani lokaci da babu ko ɗaya daga cikinsu. Barin δ ya girma zuwa iyakarsa yana ba da

ML(V) ≥ 1/(2n)

Wannan kusan rabin abin da hasashen ya faɗa ne. Wucewa gaba da shi ya zama mai taurin kai. Marubutan sun lissafa tarihin: shekaru da dama, ƙarin da ke matakin 1/n² kawai; sannan ingantawar Perarnau da Serra, ta Terence Tao a 2018, ta Benjamin Bedert a 2025. Amma dukansu suna da rauni guda: idan aka kwatanta da 1/(2n), ingantawar tana zuwa sifili yayin da yawan masu gudu ke ƙaruwa.

Ƙarin da ba ya ɓacewa

Sabuwar ka’idar (theorem) ta canza hakan:

ML(V) > (1 + c)/(2n)

ga wani tabbataccen c > 0 da kowane saitin gudu n ≥ 2. Ƙarin gefen yanzu kaso ne tabbatacce na iyaka mai sauƙin, ko yawan masu gudu nawa ne. Tabbataccen lambar a bayyane take amma ba a lissafa ta a cikin takardar ba, kuma marubutan ba su yi ƙoƙarin inganta ta ba. Ba ta kai 1/(n + 1) da aka yi hasashe ba; ita ce ƙari na farko da ba ya narkewa.

Hujjar tana duba yadda “tagogin haɗari” na masu gudu daban-daban suke haɗuwa da juna. Wasu suna haɗuwa ne saboda suna da cibiya ɗaya — masu gudun da gudunsu ke da masu raba juna na bai ɗaya suna isa farkon tare. Wasu kuma suna haɗuwa a cibiyoyi daban-daban. Ga nau’i na farko, marubutan sun inganta wata hujja game da manyan masu raba juna na bai ɗaya ta Green da Walker. Ga na biyun, sun tabbatar da sabon rashin daidaito na siffa (geometry): idan aka faɗaɗa tagogin a kewayen cibiyoyinsu, haɗuwarsu dole ta girma da sauri fiye da daidai gwargwado. Ko ta wace hanya, lokacin da ba a rufe ba ba zai iya raguwa zuwa babu ba.

A matsayin ƙari, sakamakon yana inganta ƙaramar iyaka ga “matsalar pyjama”: kwafi nawa na wani zane mai ratsi da aka juya aka kuma miƙe ake buƙata don rufe shimfiɗaɗɗen fili.

Wa ya yi me

Takardar tana ɗauke da sanarwa bayyananniya kan amfani da AI. Dabarar da tsarin aikin na marubutan ne da kansu. An yi amfani da ChatGPT 6 Pro da ChatGPT 6 Astra galibi don duba hujjoji, mayar da hujjoji marasa tsari zuwa masu tsauri da kuma binciken gyare-gyare. Pro ya ba da shawarar kawo jimilla bisa masu raba juna na bai ɗaya, kuma daga baya ya gyara “wasu ƙananan giɓi” a sigar farko ta hujjar muhimmin rashin daidaiton. Marubutan ne suka rubuta hujjojin ƙarshe. Hukuncinsu kan kayan aikin a fayyace yake: “samfuran ba su iya inganta iyakar mai gudu shi kaɗai da kansu ba.”

Shekaru sittin bayan Wills, kaɗaicin da aka tabbatar wa kowane mai gudu yana da, a karon farko, gefen da ke tsayawa a wurinsa.