孤独なランナーに、ついに少しのゆとりが

1周の長さが1の円形トラックを想像してほしい。何人かのランナーが同じ地点から同じ瞬間にスタートし、それぞれが自分の一定の速さで走る。速さはすべて異なる。孤独なランナー予想によれば、どのランナーもいつかは一人になる。ランナーが全部でn + 1人いるとき、他の全員から少なくとも1周の**1/(n + 1)**離れた位置に来る、というのだ。

この問題はその名前よりも古い。シーユー・フー（Xiyu Hu、中国科学院大学）とイーファン・ジン（Yifan Jing、オハイオ州立大学）によれば、その起源は、数を分数で近似することについてのイェルク・ヴィルス（Jörg Wills）の1965年の博士論文にさかのぼる。キュージック（Cusick）は、障害物に遮られる視線という形で同値な版を与えた。ランナーが登場したのはもっと後で、ゴディン（Goddyn）による言い換えによる。その後この問題は、ビリヤードの軌道、グラフの彩色、そしてマトロイドと呼ばれる抽象的な構造の上の流れと結びつけられてきた。

孤独さを測る

数学者は通常、1人のランナーを固定し、他のランナーのそれに対する相対的な速さを考える。それは、互いに異なるn個の正の整数からなる集合Vである。時刻tに、速さvのランナーはトラック上の位置vtにいて、スタートからの距離は∥vt∥と書かれる。これはvtから最も近い整数までの距離である。Vの最大孤独度は

ML(V) = tについての最大値（Vの中のvについての∥vt∥の最小値）

つまり、最も近いランナーで判断した、最良の瞬間である。予想はML(V) ≥ 1/(n + 1)を主張しており、これは最良の値となるはずだ。速さ1, 2, …, nに対しては、最大孤独度はちょうど1/(n + 1)になる。たとえば、速さ1と2の2人の動くランナーがいるとき、固定されたランナーは両者から最大で1周の3分の1しか離れられない。それは時刻1/3のときである。

簡単な半分

答えの半分は簡単に手に入る。あるランナーがスタートからδ以内にいる時刻は、時計全体の2δの割合を占める。ランナーがn人いて、2nδが1より小さければ、これらの時間の窓がすべてを覆うことはできない。だから、どの窓にも入らない瞬間がある。δをその限界まで大きくすると

ML(V) ≥ 1/(2n)

が得られる。これは予想が予言する値のおよそ半分だ。これを超えるのは手ごわいことがわかってきた。著者らはその歴史を挙げている。何十年もの間、得られたのは1/n²程度の改善だけだった。その後、ペラルナウ（Perarnau）とセラ（Serra）、2018年のテレンス・タオ（Terence Tao）、2025年のベンジャミン・ベデルト（Benjamin Bedert）による改善が続いた。しかし、それらはすべて共通の弱点をもっていた。ランナーの数が増えるにつれて、1/(2n)に対する改善の割合がゼロに近づくのだ。

薄れない改善

新しい定理はそれを変える。

ML(V) > (1 + c)/(2n)

が、ある固定された定数c > 0と、n ≥ 2個の速さのあらゆる集合について成り立つ。上乗せされる余裕は、ランナーが何人いても、今や簡単な下界の一定の割合となる。この定数は明示的だが論文の中では計算されておらず、著者らはそれを最適化しようとはしていない。予想される1/(n + 1)には届かない。それでも、消えてしまわない初めての改善である。

証明は、異なるランナーの「危険な窓」がどう重なり合うかに注目する。中心を共有しているために重なるものがある。速さが公約数をもつランナーたちは、そろってスタート地点に来るからだ。異なる中心で重なるものもある。前者について、著者らはグリーン（Green）とウォーカー（Walker）による大きな公約数に関する議論を精緻化する。後者について、彼らは新しい幾何学的な不等式を証明する。窓をその中心のまわりで広げると、窓どうしの重なりは比例する以上の速さで大きくならなければならない、というものだ。どちらの場合でも、覆われない時間がゼロまで縮むことはありえない。

おまけとして、この結果は「パジャマ問題」の下界も改善する。平面を覆うのに、縞模様を回転させ引き伸ばした写しがいくつ必要か、という問題である。

誰が何をしたか

論文には、AIの使用についての明示的な記述がある。戦略と枠組みは著者ら自身のものだ。ChatGPT 6 ProとChatGPT 6 Astraは主に、議論の確認、非形式的な証明を厳密なものにすること、そして改良の探索に使われた。Proは公約数にわたる和を持ち込むことを提案し、後に鍵となる不等式の証明の初版にあった「いくつかの小さな穴」を修正した。最終的な証明は著者らが書いた。ツールに対する彼らの評価は明確だ。「モデルは自力で孤独なランナーの下界を改善することはできなかった」。

ヴィルスから60年、各ランナーに保証された孤独さは、初めて、消えずに残る余裕を手に入れた。