LE COUREUR SOLITAIRE GAGNE ENFIN UN PEU D'AIR

Imaginez une piste circulaire longue d’un tour. Plusieurs coureurs partent du même point au même instant, chacun à sa propre vitesse constante, toutes différentes. La conjecture du coureur solitaire affirme que chaque coureur se retrouvera, à un moment, seul : à une distance d’au moins 1/(n + 1) de tour de tous les autres, s’il y a n + 1 coureurs en tout.

Le problème est plus ancien que son nom. Selon Xiyu Hu (Université de l’Académie chinoise des sciences) et Yifan Jing (Université d’État de l’Ohio), il remonte à la thèse de doctorat de Jörg Wills, en 1965, sur l’approximation des nombres par des fractions. Cusick en a donné une version équivalente en termes de lignes de visée bloquées par des obstacles ; les coureurs sont venus plus tard, avec une reformulation de Goddyn. Il a depuis été relié aux trajectoires de billard, aux coloriages de graphes et aux flots dans des structures abstraites appelées matroïdes.

Mesurer la solitude

Les mathématiciens fixent d’ordinaire un coureur et regardent les vitesses des autres par rapport à lui : un ensemble V de n nombres entiers positifs distincts. À l’instant t, un coureur de vitesse v est à la position vt sur la piste, et sa distance au départ s’écrit ∥vt∥ — la distance de vt au nombre entier le plus proche. La solitude maximale de V vaut

ML(V) = maximum sur t du minimum sur v dans V de ∥vt∥

Le meilleur moment, jugé d’après le coureur le plus proche. La conjecture affirme ML(V) ≥ 1/(n + 1), et ce serait optimal : pour les vitesses 1, 2, …, n, la solitude maximale vaut exactement 1/(n + 1). Avec deux coureurs en mouvement, aux vitesses 1 et 2, le coureur fixe peut être au mieux à un tiers de tour des deux — à l’instant 1/3.

La moitié facile

La moitié de la réponse s’obtient sans effort. Les instants où un coureur donné est à moins de δ du départ occupent une fraction 2δ de l’horloge. Avec n coureurs, si 2nδ est inférieur à 1, ces fenêtres de temps ne peuvent pas tout couvrir : il reste un moment libre de toutes. En poussant δ à sa limite, on obtient

ML(V) ≥ 1/(2n)

C’est environ la moitié de ce que prédit la conjecture. Aller au-delà s’est révélé coriace. Les auteurs retracent l’histoire : pendant des décennies, des gains de l’ordre de 1/n² seulement ; puis des améliorations de Perarnau et Serra, de Terence Tao en 2018, de Benjamin Bedert en 2025. Mais toutes partagent une faiblesse : rapportée à 1/(2n), l’amélioration tend vers zéro quand le nombre de coureurs augmente.

Un gain qui ne s’efface pas

Le nouveau théorème change cela :

ML(V) > (1 + c)/(2n)

pour une constante fixe c > 0 et tout ensemble de n ≥ 2 vitesses. La marge supplémentaire est désormais une fraction constante de la borne facile, quel que soit le nombre de coureurs. La constante est explicite mais n’est pas calculée dans l’article, et les auteurs ne cherchent pas à l’optimiser. Elle n’atteint pas le 1/(n + 1) conjecturé ; c’est le premier gain qui ne se dissout pas.

La preuve examine comment se chevauchent les « fenêtres de danger » des différents coureurs. Certaines se chevauchent parce qu’elles ont le même centre — des coureurs dont les vitesses ont des diviseurs communs repassent au départ ensemble. D’autres se chevauchent autour de centres différents. Pour le premier cas, les auteurs affinent un argument sur les grands diviseurs communs dû à Green et Walker. Pour le second, ils démontrent une nouvelle inégalité géométrique : quand on élargit les fenêtres autour de leurs centres, leurs chevauchements doivent croître plus vite que proportionnellement. Dans les deux cas, le temps non couvert ne peut pas se réduire à rien.

En prime, le résultat améliore une borne inférieure pour le « problème du pyjama » : combien de copies tournées et étirées d’un motif rayé faut-il pour couvrir le plan.

Qui a fait quoi

L’article contient une déclaration explicite sur l’usage de l’IA. La stratégie et le cadre sont ceux des auteurs. ChatGPT 6 Pro et ChatGPT 6 Astra ont servi surtout à vérifier des arguments, à transformer des preuves informelles en preuves rigoureuses et à explorer des raffinements. Pro a suggéré de faire intervenir des sommes portant sur les diviseurs communs, puis a corrigé « quelques petites lacunes » d’une première version de la preuve de l’inégalité clé. Les preuves finales ont été écrites par les auteurs. Leur verdict sur ces outils est précis : « les modèles n’ont pas été capables d’améliorer seuls la borne du coureur solitaire ».

Soixante ans après Wills, la solitude garantie à chaque coureur dispose, pour la première fois, d’une marge qui ne bouge plus.