球がいたるところへ行くレモン形のビリヤード台

数学者には、カオスを研究するためのお気に入りのおもちゃがある。ビリヤードだ。閉じた図形の中で点がまっすぐに進み、縁で「光子が鏡で跳ね返るように」跳ね返って、入ってきたときと同じ角度で出ていく。摩擦も回転も終わりもない。問題は、そのような球が長い目で見てどうふるまうかだ。

台によっては、その答えはこれ以上ないほど荒々しい。運動はエルゴード的になる。ほとんどすべての軌道が、とりうる位置と向きの全範囲をやがて訪れ、それぞれの領域で、その大きさに比例した割合の時間を過ごすのだ。ウェンタオ・ファン（Wentao Fan）とボリス・ハッセルブラット（Boris Hasselblatt）は、自分たちの台について、さらに強い性質であるベルヌーイ性を証明した。統計的に見ると、跳ね返る球は、互いに独立なランダムな抽選の列のようにふるまうのだ。

丸い縁の難しさ

カオス的であることが昔から知られている台には、ひとつ落とし穴がある。数学者マチェイ・ヴォイトコフスキ（Maciej Wojtkowski）による一連の判定基準は、曲がった、光を集めるような壁がどのようにカオスを生み出しうるかを説明する。しかしそのためには、それぞれの壁がその一部の弧でしかない円全体が、台の内側にすっかり収まっていなければならない——そうなると、縁はどこかでへこまざるをえない。そのため、狭義凸の台、つまり縁がいたるところで外側にふくらみ、平らな部分も内側にへこむ部分もない台は除外されてしまう。

そこで自然な問いが未解決のまま残っていた。狭義凸のビリヤードが、そもそもエルゴード的になりうるのだろうか？

レモン

2013年、ジンユー・チェン（Jingyu Chen）、ルーク・モア（Luke Mohr）、ホンクン・ジャン（Hong-Kun Zhang）、ペンフェイ・ジャン（Pengfei Zhang）は、その候補となる一群を導入した。レモン・ビリヤードだ。半径 r の円盤と、それよりはるかに大きな半径 R の円盤の2つを、大きな円盤が両方の中心を含むように置く。その重なった部分が台になる。実際には、小さな円盤の片側を巨大な円のゆるやかな弧で削り取ったもので、その弧は残りの部分と2つの角で交わる。4人の研究者は、2つの半径が大きく異なるとき、こうしたレモンはエルゴード的だと予想した。

レモン・ビリヤード台 L(r, R, ζ)：半径 r の小さな円と半径 R の大きな円の重なりで、角AとBで交わる。— 図1、Fan and Hasselblatt (2026), arXiv:2610.28247.

証明

中国の河北師範大学のファンと、米国のタフツ大学のハッセルブラットは、十分にいびつなレモンについてこの予想を証明した。彼らの主定理が成り立つのは、切り取る部分の大きさを決める角度 ζ が0とarctan(1/3)——約18度——の間にあり、大きな半径がr · 30,000 / sin²ζ を超えるときだ。これは、許される最大の切り取りでも r の30万倍にあたり、切り取る部分がより狭ければさらに大きくなる。「私たちの知る限り」と彼らは書いている。「これは、エルゴード性が証明された狭義凸のビリヤードの最初の例である」。

この研究は、同じ著者らによる姉妹論文の上に築かれている。その論文では、うまく選んだ一群の跳ね返りに球が戻ってくるたびに、近くにある軌道どうしが一定の割合で引き離されていくことが示された。残っていたのは最も難しい部分、すなわち2つの角のどちらかから出てくる、あるいはどちらかに突っ込む軌道である特異曲線を制御することだった。こうした曲線は台の上に描かれるのではなく、跳ね返りの地図——それぞれの跳ね返りを、縁に沿った位置と出ていく角度で位置づけた図——の上に描かれる。レモン・ビリヤードでは、その地図の上で曲線の一部がほぼ垂直に立ち、傾きの符号が反転する。これは「標準的なビリヤードの手法にとって、長いあいだ深刻な問題だとみなされてきた」特徴だ。著者らは、たった1回跳ね返ったあとで、これらの曲線がきれいに揃うことを示した。だからこそ彼らは、球をすべての跳ね返りで見るのではなく、小さな円に連続して衝突する一続きの終わり——その一続きの最後から2番目、あるいは衝突が1回だけならその1回——で観察することにしたのだ。

残りは、2013年の「局所エルゴード性」定理が要求する4つの技術的な条件を、レモンに合わせて慎重に確かめる作業だ。それが58ページの論文のほぼ全体を占めている。

次に来るもの

この結果が当てはまるのは、きわめて非対称なレモンだ。上のしきい値では、大きな円は小さな円の何十万倍もの大きさ（少なくとも30万倍）になる。それほどいびつでないレモンについては、まだ証明されていない。

著者らは次の目標として、運動がどれだけ速く混ざり合うか、そしてそこから導かれる統計法則を挙げ、さらに野心的な問いで論文を締めくくっている。彼らのレモンにはまだ2つの角がある。縁が完全になめらかで、角がまったくない狭義凸のエルゴード的ビリヤードは存在するのだろうか？ 彼らは「半世紀にわたって」研究されてきた古い候補を挙げている。長方形の両端を、なめらかにつながる円弧でふさいだ台だ。謝辞の中の一文も目を引く。「この論文の準備のいかなる面においても、AIは使用していない」。