লেবু-আকৃতির বিলিয়ার্ড টেবিল, যেখানে বল সব জায়গায় যায়

বিশৃঙ্খলা (chaos) নিয়ে গবেষণার জন্য গণিতবিদদের একটি প্রিয় খেলনা আছে: বিলিয়ার্ড। একটি বিন্দু একটি বদ্ধ আকৃতির ভেতরে সরলরেখায় চলে এবং কিনারায় ধাক্কা খেয়ে ফেরে “যেমন একটি ফোটন আয়নায় ফেরে”, যে কোণে এসেছিল সেই কোণেই বেরিয়ে যায়। ঘর্ষণ নেই, ঘূর্ণন নেই, শেষ নেই। প্রশ্ন হলো, দীর্ঘমেয়াদে এমন একটি বল কী করে।

কিছু টেবিলের ক্ষেত্রে উত্তরটা যতটা সম্ভব উদ্দাম। গতিটি আর্গোডিক (ergodic): প্রায় প্রতিটি গতিপথ শেষ পর্যন্ত সম্ভাব্য অবস্থান ও দিকের পুরো পরিসর ঘুরে আসে, প্রতিটি অঞ্চলে তার আকারের অনুপাতে সময় কাটায়। ওয়েনতাও ফান ও বরিস হাসেলব্লাট তাঁদের টেবিলের জন্য এর চেয়েও জোরালো একটি বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করেছেন, বার্নুলি বৈশিষ্ট্য (Bernoulli property): পরিসংখ্যানগতভাবে, লাফানো বলটি স্বাধীন দৈব নির্বাচনের একটি ধারার মতো আচরণ করে।

গোল কিনারার ঝামেলা

যে টেবিলগুলো দীর্ঘদিন ধরে বিশৃঙ্খল বলে জানা, তাদের একটি শর্ত আছে। গণিতবিদ মাচেই ভয়তকোভস্কির দেওয়া একগুচ্ছ মানদণ্ড ব্যাখ্যা করে, বাঁকা ও ফোকাসকারী দেয়াল কীভাবে বিশৃঙ্খলা তৈরি করতে পারে — কিন্তু তার জন্য প্রয়োজন, প্রতিটি দেয়াল যে পূর্ণ বৃত্তের কেবল একটি চাপ, সেই গোটা বৃত্তটিই টেবিলের ভেতরে এঁটে যাবে — আর এতে কিনারাকে কোথাও না কোথাও ভেতরের দিকে দেবে যেতেই হয়। এতে বাদ পড়ে যায় কঠোরভাবে উত্তল (strictly convex) টেবিল, অর্থাৎ যাদের কিনারা সবখানে বাইরের দিকে স্ফীত, কোনো সমতল বা ভেতরমুখী অংশ নেই।

তাই একটি স্বাভাবিক প্রশ্ন খোলা ছিল: একটি কঠোরভাবে উত্তল বিলিয়ার্ড কি আদৌ আর্গোডিক হতে পারে?

লেবু

2013 সালে জিংইউ চেন, লুক মোর, হং-কুন ঝাং ও পেংফেই ঝাং একদল প্রার্থী উপস্থাপন করেন: লেবু বিলিয়ার্ড। দুটি চাকতি নিন, একটির ব্যাসার্ধ r আর অন্যটি অনেক বড়, ব্যাসার্ধ R, এমনভাবে রাখা যে বড় চাকতিটি দুটি কেন্দ্রই ধারণ করে। তাদের মিলিত অংশই টেবিল — কার্যত, একটি ছোট চাকতি যার একটি পাশ একটি বিশাল বৃত্তের মৃদু চাপে চেঁছে ফেলা, যা বাকি অংশের সঙ্গে দুটি কোণে মেলে। চার গবেষক অনুমান করেছিলেন, দুই ব্যাসার্ধ খুব আলাদা হলে এমন লেবু আর্গোডিক।

লেবু বিলিয়ার্ড টেবিল L(r, R, ζ): r ব্যাসার্ধের একটি ছোট বৃত্ত ও R ব্যাসার্ধের একটি বড় বৃত্তের মিলিত অংশ, যারা A ও B কোণে মেলে। — চিত্র 1, ফান ও হাসেলব্লাট (2026), arXiv:2610.28247।

প্রমাণ

চীনের হেবেই নর্মাল বিশ্ববিদ্যালয়ের ফান এবং যুক্তরাষ্ট্রের টাফটস বিশ্ববিদ্যালয়ের হাসেলব্লাট যথেষ্ট একপেশে লেবুর জন্য অনুমানটি প্রমাণ করেছেন। তাঁদের মূল উপপাদ্য খাটে তখন, যখন কাটা অংশের আকার নির্ধারণকারী কোণ ζ 0 থেকে arctan(1/3) — প্রায় 18 ডিগ্রি — এর মধ্যে থাকে, এবং বড় ব্যাসার্ধ r · 30,000 / sin²ζ ছাড়িয়ে যায়: সবচেয়ে ভালো ক্ষেত্রেও তা r-এর 300,000 গুণ, অনুমোদিত সবচেয়ে চওড়া কাটার জন্য, আর কাটা সরু হলে আরও বেশি। তাঁরা লিখেছেন, “আমাদের জানামতে, এটিই কঠোরভাবে উত্তল কোনো বিলিয়ার্ডের প্রথম দৃষ্টান্ত যার আর্গোডিসিটি প্রমাণিত হয়েছে।”

কাজটি একই লেখকদের একটি সহযোগী গবেষণাপত্রের ওপর দাঁড়িয়ে, যেটি দেখিয়েছিল, বলটি যখন সুচিন্তিতভাবে বাছাই করা একগুচ্ছ লাফে ফিরে আসে, তখন কাছাকাছি গতিপথগুলোকে সে স্থির হারে পরস্পর থেকে দূরে টেনে নেয়। বাকি ছিল সবচেয়ে কঠিন অংশ: বিচিত্রতা-বক্ররেখা (singularity curves) নিয়ন্ত্রণ করা, অর্থাৎ যে গতিপথগুলো দুই কোণের কোনো একটি থেকে আসে বা তাতে গিয়ে পড়ে। এই বক্ররেখাগুলো টেবিলের উপর আঁকা হয় না, বরং লাফগুলোর একটি নকশার উপর, যেখানে প্রতিটি লাফকে কিনারা বরাবর তার অবস্থান আর তার প্রস্থান-কোণ দিয়ে বসানো হয়; লেবু বিলিয়ার্ডে সেই নকশায় এর কিছু বক্ররেখা প্রায় খাড়া দাঁড়িয়ে থাকে এবং তাদের ঢালের চিহ্ন উল্টে দেয় — এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা “প্রচলিত বিলিয়ার্ড কৌশলের জন্য দীর্ঘদিন গভীরভাবে সমস্যাজনক বলে বিবেচিত”। লেখকেরা দেখিয়েছেন, একটিমাত্র লাফের পরেই এই বক্ররেখাগুলো পরিপাটিভাবে সারিবদ্ধ হয়ে যায়। ঠিক এই কারণেই তাঁরা বলটিকে প্রতিটি লাফে নয়, বরং ছোট বৃত্তে পরপর লাফের প্রতিটি ধারার শেষে পর্যবেক্ষণ করা বেছে নিয়েছেন — অর্থাৎ সেই ধারার শেষের আগের লাফে, আর ধারায় একটিই লাফ থাকলে সেটিতেই।

বাকিটা হলো 2013 সালের একটি “স্থানীয় আর্গোডিসিটি” উপপাদ্যের জন্য প্রয়োজনীয় চারটি কারিগরি শর্তের, লেবুর উপযোগী করে, সযত্ন যাচাই। এতেই প্রায় পুরো 58 পৃষ্ঠার গবেষণাপত্রটি ভরে গেছে।

এরপর কী

ফলাফলটি খুব অপ্রতিসম লেবুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: ওপরের সীমা অনুযায়ী, বড় বৃত্তটি ছোটটির চেয়ে কয়েক লক্ষ গুণ বড় (অন্তত 300,000 গুণ)। কম একপেশে লেবুগুলো এখনও অপ্রমাণিত।

লেখকেরা তাঁদের পরবর্তী লক্ষ্যগুলোর তালিকা দিয়েছেন — গতি কত দ্রুত মিশে যায়, এবং তা থেকে আসা পরিসংখ্যানগত নিয়ম — এবং শেষ করেছেন আরও উচ্চাভিলাষী একটি প্রশ্ন দিয়ে। তাঁদের লেবুর এখনও দুটি কোণ আছে। এমন কোনো কঠোরভাবে উত্তল আর্গোডিক বিলিয়ার্ড কি আছে, যার কিনারা পুরোপুরি মসৃণ, কোনো কোণই নেই? তাঁরা ইঙ্গিত করেছেন “অর্ধশতাব্দী আগেও” গবেষণা হওয়া পুরোনো প্রার্থীদের দিকে: একটি আয়তক্ষেত্রের দুই মাথায় বৃত্তচাপ বসিয়ে তৈরি টেবিল, যে চাপগুলো তার সঙ্গে মসৃণভাবে জোড়া লাগে। তাঁদের কৃতজ্ঞতা-স্বীকারের একটি লাইনও নজর কাড়ে: “এই নিবন্ধ প্রস্তুতির কোনো পর্যায়েই কোনো AI ব্যবহার করা হয়নি।”