সমতল বালির স্তূপ চিরকাল ধসে পড়তে পারে না

ঘরের একটি গ্রিড নিন। প্রতিটি ঘরে কিছু বালির দানা আছে। কোনো ঘর চারটি দানায় পৌঁছালে — প্রতি প্রতিবেশীর জন্য একটি — সেটি ধসে পড়ে (topple): তার চার প্রতিবেশীর প্রত্যেককে একটি করে দানা পাঠায়। সেই প্রতিবেশীদের এখন চারটি দানা হতে পারে, ফলে তারাও পালা করে ধসে পড়ে, আর এভাবে চলতে থাকে। একটিমাত্র দানা যোগ করলে একটি শৃঙ্খল-বিক্রিয়া শুরু হতে পারে: একটি ধস (avalanche)।

এটিই অ্যাবেলিয়ান স্যান্ডপাইল মডেল। বাক, তাং ও ভিজেনফেল্ড ১৯৮৭ সালে একে স্ব-সংগঠিত সংকটাবস্থার (self-organised criticality) উদাহরণ হিসেবে উপস্থাপন করেন: তাঁদের সিমুলেশনে ধসের আকার একটি ঘাত-সূত্র (power law) মেনে চলত — ছোটগুলো সাধারণ, বিশালগুলো বিরল — কেউ কোনো প্যারামিটার সমন্বয় না করেই। তখন থেকেই এটি পদার্থবিদ আর গণিতবিদদের মুগ্ধ করে রেখেছে।

গড়ে অসীম

কল্পনা করুন, গ্রিডটি চিরকাল বিস্তৃত, আর এলোমেলোভাবে দানা যোগ করা হচ্ছে যতক্ষণ না স্তূপটি তার সাধারণ, “স্থিতিশীল” (stationary) অবস্থায় থিতু হয়। তারপর মাঝখানে আরও একটি দানা যোগ করুন। ধসটি কত দূর যায়?

ধরের ১৯৯০ সালের একটি সূত্র ধসে পড়ার গড় সংখ্যাকে যুক্ত করে একটি এলোমেলো হাঁটা (random walk) — এমন একটি বিন্দু যা প্রতি ধাপে একটি এলোমেলো প্রতিবেশীতে লাফায় — কত ঘন ঘন তার শুরুর জায়গায় ফেরে, তার সঙ্গে:

তিন বা তার বেশি মাত্রায় এলোমেলো হাঁটা সাধারণত চিরতরে দূরে সরে যায়, তাই গড়টি সসীম। ২০০৮ সালে ইয়ারাই ও রেডিগ এটি কাজে লাগিয়ে প্রমাণ করেন যে ধস সব সময় থামে।
দুই মাত্রায় এলোমেলো হাঁটা বারবার ফিরে আসে। শুরুর ঘরে ধসে পড়ার গড় সংখ্যা অসীম, আর ধসের গড় নাগালও তা-ই।

গড়ে অসীম মানেই বাস্তবে অসীম নয়: বিরল, দানবীয় ধস গড়কে আকাশছোঁয়া করে দিতে পারে, অথচ প্রায় প্রতিটি ধসই সসীম থাকে। দুই মাত্রায় তেমনটা হয় কি না, সেই প্রশ্ন ২০০৪ সাল থেকে অমীমাংসিত ছিল। বিশেষজ্ঞরা একে “একটি গুরুত্বপূর্ণ অমীমাংসিত প্রশ্ন” বলেছিলেন এবং ২০১৪ ও ২০১৮ সালে আবার তালিকায় রেখেছিলেন।

উত্তর: তারা থামে

আহমেদ বু-রাবি প্রমাণ করেছেন যে দুই মাত্রায় ধস প্রায় নিশ্চিতভাবে থামে। তিনি একটি হারও দেন: এর R দূরত্ব ছাড়িয়ে পৌঁছানোর সম্ভাবনা সর্বোচ্চ

C (log(R + 2))^(−a)

যেখানে a ও C কিছু নির্দিষ্ট ধনাত্মক ধ্রুবক। এটি R-এর লগারিদমের একটি ঋণাত্মক ঘাত — খুবই ধীর পতন, কিন্তু যা শূন্য পর্যন্ত যায়। পদার্থবিদদের স্কেলিং-যুক্তি এর চেয়ে অনেক দ্রুত ক্ষয়ের পূর্বাভাস দেয়; এই ফলাফল দুর্বলতর, কিন্তু প্রমাণিত।

ধসকে উল্টো দিক থেকে পড়া

একটি ধসকে ঢেউয়ে (wave) ভাগ করা যায়: শুরুর ঘরটিকে একবার ধসান, বাকি সবকিছুকে থিতু হতে দিন, আর শুরুর ঘরটি যতক্ষণ অতিভারী থাকে ততক্ষণ পুনরাবৃত্তি করুন। দুই মাত্রায় ঢেউয়ের প্রত্যাশিত সংখ্যা নিজেই অসীম, যা আগের প্রচেষ্টাগুলো ভেস্তে দিয়েছিল।

নতুন প্রমাণটি এই গোনাকে পাশ কাটিয়ে যায়:

এটি প্রতিটি ধসকে উল্টো দিক থেকে অনুসরণ করে, শেষ ঢেউ থেকে প্রথম ঢেউ পর্যন্ত, আর কেবল সেই ঢেউগুলো গোনে যা একটি খুব বড় ধসের মধ্যে থাকতেই হবে।
এটি প্রশ্নটিকে রূপান্তর করে একটি সুষম বিস্তারী বৃক্ষ (uniform spanning tree) সংক্রান্ত প্রশ্নে — পথের একটি এলোমেলো জাল, যা গ্রিডের প্রতিটি ঘরকে যুক্ত করে কিন্তু কখনো কোনো চক্র তৈরি করে না। একটি ধ্রুপদি সংগতি থিতু বালির স্তূপকে এমন বৃক্ষের সঙ্গে যুক্ত করে।
তারপর এটি দেখায়, একটির পর একটি মাপে, যে এই বৃক্ষে নির্দিষ্ট একটি সংযোগ-সংখ্যার ছোট হওয়া অসম্ভাব্য। হাতিয়ারের মধ্যে আছে বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্ক — গ্রিডের প্রতিটি ধারকে এক ওহমের রোধক হিসেবে কল্পনা করা — আর ১৯৪০ সালের একটি পুরোনো ফলাফল, যা বৈদ্যুতিক প্রবাহকে বর্গ দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্রের টালি-বিন্যাসে রূপান্তর করে।

প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট Lean 4-এ প্রমাণটির একটি কম্পিউটার আনুষ্ঠানিকীকরণ গবেষণাপত্রের পাশাপাশি রক্ষণাবেক্ষণ করা হচ্ছে; গবেষণাপত্রে বলা নেই যে তা সম্পূর্ণ।

AI-এর সাহায্যে নির্মিত

গবেষণাপত্রটি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করে এটি কীভাবে তৈরি হয়েছে। ফলাফলগুলো ২০২৬ সালের মে মাসের শেষ থেকে অক্টোবরের শুরু পর্যন্ত GPT-5.5 এবং GPT-6 পরিবারের মডেলের সঙ্গে গড়ে তোলা হয়েছে: লেখক কাজটি পরিচালনা করেছেন, আর মডেলগুলো ধারণা ও এক-এক সংগতি (bijection) প্রস্তাব করেছে, ছোট বাক্সে সব বালির স্তূপ গুনে সেগুলো পরীক্ষা করেছে, প্রমাণের চেষ্টা করেছে এবং প্রতি-উদাহরণ খুঁজে পেয়েছে। আলাদা AI এজেন্ট প্রতিযোগী ধারণা অনুসরণ করেছে ও প্রস্তাবিত প্রমাণ যাচাই করেছে, আর প্রতিটি ব্যর্থ পদ্ধতি লিখে রাখা হয়েছে যাতে তার পুনরাবৃত্তি না হয়। গণিতের দায় লেখক নিজে নেন।

স্বার্থের সংঘাত। গবেষণাপত্রটি জানায়, Anthropic-এর তৈরি Claude Opus 5.5 ছবিগুলো বানিয়েছে এবং উপস্থাপনায় সাহায্য করেছে। এই প্রবন্ধটি লিখেছে Claude।