TARIN YASHI A SHIMFIƊE BA ZAI IYA ZAFTAREWA HAR ABADA BA

Ɗauki wani grid na murabba’ai. Kowane murabba’i yana riƙe da wasu ƙwayoyin yashi. Idan murabba’i ya kai ƙwayoyi huɗu — ɗaya ga kowane maƙwabci — yana rushewa (topple): yana aika ƙwaya ɗaya ga kowane maƙwabcinsa huɗu. Waɗannan maƙwabta yanzu za su iya samun ƙwayoyi huɗu kuma su rushe su ma, da sauransu. Ƙara ƙwaya ɗaya zai iya tayar da jerin abubuwan da ke bin juna: zaftarewa (avalanche).

Wannan shi ne abelian sandpile model. Bak, Tang da Wiesenfeld sun gabatar da shi a 1987 a matsayin misalin self-organised criticality: a cikin kwaikwayonsu, girman zaftarewa ya bi power law, ƙanana suna da yawa kuma manya ba kasafai ba, ba tare da wani ya daidaita wani parameter ba. Tun daga lokacin yana burge masana kimiyyar lissafi da masana lissafi.

Marar iyaka a matsakaici

Ka yi tunanin grid ɗin ya miƙe har abada, ana ƙara ƙwayoyi bazata har tarin ya daidaita cikin yanayinsa na yau da kullum, “stationary”. Sannan a ƙara ƙwaya ɗaya a tsakiya. Har ina zaftarewar za ta kai?

Wata dabara daga 1990 ta Dhar tana haɗa matsakaicin adadin rushewa da yawan lokacin da random walk — wani ɗigo da ke tsalle zuwa maƙwabci bazata a kowane mataki — ke komawa inda ya fara:

A cikin girma (dimensions) uku ko fiye, random walk yana yawan yawo ya tafi har abada, don haka matsakaicin yana da iyaka. A 2008, Járai da Redig sun yi amfani da wannan don tabbatar da cewa zaftarewa kullum tana tsayawa.
A cikin girma biyu, random walk yana ci gaba da dawowa. Matsakaicin adadin rushewa a murabba’in farko marar iyaka ne, haka ma matsakaicin nisan da zaftarewa ke kaiwa.

Marar iyaka a matsakaici ba dole ba ne ya nufi marar iyaka a zahiri: zaftarewa masu girman gaske da ba kasafai ba za su iya sa matsakaicin ya fashe yayin da kusan kowace zaftarewa ke da iyaka. Ko haka lamarin yake a girma biyu, ya kasance ba a amsa ba tun 2004. Ƙwararru sun kira shi “muhimmiyar tambaya da ba a amsa ba” kuma sun sake lissafa shi a 2014 da 2018.

Amsar: suna tsayawa

Ahmed Bou-Rabee ya tabbatar da cewa, a girma biyu, zaftarewar kusan tabbas tana tsayawa. Ya kuma ba da wani gwargwado: yiwuwar ta kai fiye da nisan R tana da iyakar sama ta

C (log(R + 2))^(−a)

ga wasu kafaffun constants masu kyau a da C. Wannan wani negative power ne na logarithm na R — raguwa a hankali sosai, amma wadda ke kai har sifili. Hujjojin scaling na masana kimiyyar lissafi suna hasashen raguwa mafi sauri sosai; wannan sakamako ya fi rauni, amma an tabbatar da shi.

Karanta zaftarewa a baya

Ana iya yanka zaftarewa zuwa raƙuman ruwa (waves): rushe murabba’in farko sau ɗaya, bar duk sauran su daidaita, sannan a maimaita muddin murabba’in farko yana da nauyi fiye da kima. A girma biyu, adadin raƙuman da ake tsammani shi ma marar iyaka ne, abin da ya lalata ƙoƙarin baya.

Sabuwar hujja ta kauce wa ƙidayar:

Tana bin kowace zaftarewa a baya, daga raƙumanta na ƙarshe zuwa na farko, kuma tana ƙidaya raƙuman da babbar zaftarewa dole ta ƙunsa kawai.
Tana fassara tambayar zuwa wata game da uniform spanning tree — wata hanyar sadarwa ta bazata ta hanyoyi da ke haɗa kowane murabba’i na grid ba tare da taɓa yin da’ira ba. Wata tsohuwar dangantaka tana haɗa tarin yashi da suka daidaita da irin waɗannan bishiyoyi.
Sannan ta nuna, mataki bayan mataki na girma, cewa wani adadi na haɗi a cikin wannan bishiya ba zai yiwu ya zama ƙarami ba. Kayan aikin sun haɗa da hanyoyin sadarwar lantarki — tunanin kowane gefen grid a matsayin resistor na ohm ɗaya — da wani tsohon sakamako daga 1940 da ke mayar da wutar lantarki zuwa shimfiɗa wani rectangle da murabba’ai.

Ana kula da wani tsarin kwamfuta na hujjar a cikin mataimakin hujja Lean 4 tare da takardar; takardar ba ta faɗi cewa ya cika ba.

An gina da AI

Takardar ta bayyana dalla-dalla yadda aka yi ta. An haɓaka sakamakon daga ƙarshen Mayu zuwa farkon Oktoba 2026 tare da GPT-5.5 da ƙira na iyalin GPT-6: marubucin ya jagoranci aikin, yayin da ƙirar suka gabatar da ra’ayoyi da bijections, suka gwada su ta hanyar ƙidaya dukan tarin yashi a cikin ƙananan akwatuna, suka yi ƙoƙarin hujja kuma suka gano misalan saɓani. Wakilan AI daban-daban sun bi ra’ayoyi masu gasa kuma sun duba hujjojin da aka gabatar, kuma an rubuta kowace hanyar da ta kasa don kada a maimaita ta. Marubucin ya ɗauki alhakin lissafin.

Rikicin muradu. Takardar ta bayyana cewa Claude Opus 5.5, wanda Anthropic ta ƙera, ne ya yi hotunan kuma ya taimaka wajen bayani. Claude ne ya rubuta wannan maƙala.