ریت کا ہموار ڈھیر ہمیشہ کے لیے نہیں ڈھے سکتا
مربعوں کی ایک جالی لیں۔ ہر مربع میں ریت کے کچھ ذرات ہیں۔ جب کوئی مربع چار ذرات تک پہنچ جائے — ہر پڑوسی کے لیے ایک —، تو وہ ڈھے جاتا ہے: اپنے چاروں پڑوسیوں میں سے ہر ایک کو ایک ذرہ بھیج دیتا ہے۔ اب ان پڑوسیوں کے پاس بھی چار ذرات ہو سکتے ہیں اور وہ باری باری ڈھے سکتے ہیں، اور یوں سلسلہ چلتا ہے۔ ایک ہی ذرہ شامل کرنے سے ایک سلسلہ وار ردِعمل شروع ہو سکتا ہے: ایک تودہ (avalanche)۔
یہ ایبیلین سینڈپائل ماڈل ہے۔ باک، تانگ اور ویزنفیلڈ نے اسے 1987 میں خود منظم نازکیت (self-organised criticality) کی مثال کے طور پر متعارف کرایا: ان کی سمیولیشنز میں تودوں کے حجم ایک قوتی قانون (power law) کی پیروی کرتے تھے، چھوٹے عام اور بہت بڑے نایاب، بغیر اس کے کہ کوئی کسی پیرامیٹر کو ایڈجسٹ کرے۔ تب سے یہ ماہرینِ طبیعیات اور ریاضی دانوں کو مسحور کیے ہوئے ہے۔
اوسطاً لامحدود
تصور کریں کہ جالی ہمیشہ تک پھیلی ہوئی ہے، اور ذرات بے ترتیب طور پر شامل کیے جاتے ہیں یہاں تک کہ ڈھیر اپنی مخصوص، “ساکن” حالت میں ٹھہر جائے۔ پھر درمیان میں ایک اور ذرہ ڈالیں۔ تودہ کتنی دور تک جاتا ہے؟
دھر (Dhar) کا 1990 کا ایک فارمولا ڈھہنے کی اوسط تعداد کو اس بات سے جوڑتا ہے کہ ایک بے ترتیب چال (random walk) — ایک نقطہ جو ہر قدم پر کسی بے ترتیب پڑوسی پر کود جاتا ہے — کتنی بار اپنے نقطۂ آغاز پر لوٹتی ہے:
- تین یا زیادہ ابعاد میں بے ترتیب چال ہمیشہ کے لیے دور نکل جانے کا رجحان رکھتی ہے، اس لیے اوسط محدود ہوتی ہے۔ 2008 میں یارائی اور ریدیگ نے اسے استعمال کر کے ثابت کیا کہ تودے ہمیشہ رک جاتے ہیں۔
- دو ابعاد میں بے ترتیب چال بار بار لوٹتی رہتی ہے۔ آغازی مربع پر ڈھہنے کی اوسط تعداد لامحدود ہے، اور تودے کی اوسط رسائی بھی۔
اوسطاً لامحدود ہونے کا مطلب حقیقت میں لامحدود ہونا لازمی نہیں: نایاب، دیو ہیکل تودے اوسط کو بے قابو کر سکتے ہیں جبکہ تقریباً ہر تودہ محدود رہے۔ کیا دو ابعاد میں یہی صورت تھی، یہ 2004 سے حل طلب تھا۔ ماہرین نے اسے “ایک اہم حل طلب سوال” کہا تھا اور 2014 اور 2018 میں اسے دوبارہ فہرست میں شامل کیا۔
جواب: وہ رک جاتے ہیں
احمد بو-ربیع ثابت کرتے ہیں کہ دو ابعاد میں تودہ تقریباً یقینی طور پر رک جاتا ہے۔ وہ ایک شرح بھی دیتے ہیں: اس کے R فاصلے سے آگے پہنچنے کا امکان زیادہ سے زیادہ
C (log(R + 2))^(−a)
ہے، کچھ مقررہ مثبت مستقلات a اور C کے لیے۔ یہ R کے لوگارتھم کی ایک منفی قوت ہے — ایک بہت آہستہ کمی، لیکن جو صفر تک پہنچتی ہے۔ ماہرینِ طبیعیات کے پیمانہ بندی کے دلائل کہیں زیادہ تیز زوال کی پیش گوئی کرتے ہیں؛ یہ نتیجہ کمزور تر ہے، لیکن ثابت شدہ ہے۔
تودے کو الٹا پڑھنا
ایک تودے کو لہروں میں کاٹا جا سکتا ہے: آغازی مربع کو ایک بار ڈھائیں، باقی سب کو ٹھہرنے دیں، اور جب تک آغازی مربع پر بوجھ زیادہ ہے یہ عمل دہرائیں۔ دو ابعاد میں لہروں کی متوقع تعداد بھی لامحدود ہے، جس نے پہلے کی کوششوں کو ناکام کر دیا تھا۔
نیا ثبوت اس گنتی سے بچ نکلتا ہے:
- یہ ہر تودے کو الٹی سمت میں آخری لہر سے پہلی تک دیکھتا ہے، اور صرف وہ لہریں گنتا ہے جو ایک بہت بڑے تودے میں لازماً ہوں گی۔
- یہ سوال کو ایک یکساں پھیلاؤ والے درخت (uniform spanning tree) کے بارے میں سوال میں بدل دیتا ہے — راستوں کا ایک بے ترتیب جال جو جالی کے ہر مربع کو کبھی کوئی حلقہ بنائے بغیر جوڑتا ہے۔ ایک کلاسیکی مطابقت ٹھہرے ہوئے ریت کے ڈھیروں کو ایسے درختوں سے جوڑتی ہے۔
- پھر یہ پیمانہ بہ پیمانہ دکھاتا ہے کہ اس درخت میں رابطوں کی ایک خاص تعداد کا کم ہونا غیر امکانی ہے۔ اوزاروں میں برقی نیٹ ورک شامل ہیں — جالی کے ہر کنارے کو ایک اوہم کا مزاحم تصور کرنا — اور 1940 کا ایک پرانا نتیجہ جو برقی کرنٹوں کو ایک مستطیل کی مربعوں سے ٹائلنگ میں بدل دیتا ہے۔
ثبوت کی ثبوت معاون Lean 4 میں ایک کمپیوٹری رسمی صورت مقالے کے ساتھ ساتھ رکھی جا رہی ہے؛ مقالہ یہ نہیں بتاتا کہ وہ مکمل ہے۔
مصنوعی ذہانت کے ساتھ بنایا گیا
مقالہ تفصیل سے بیان کرتا ہے کہ یہ کیسے بنا۔ نتائج مئی 2026 کے آخر سے اکتوبر 2026 کے آغاز تک GPT-5.5 اور GPT-6 خاندان کے ماڈلز کے ساتھ تیار کیے گئے: مصنف نے کام کی رہنمائی کی، جبکہ ماڈلز نے خیالات اور یک بہ یک مطابقتیں (bijections) تجویز کیں، چھوٹے خانوں میں تمام ریت کے ڈھیروں کو گن کر انہیں جانچا، ثبوت کی کوششیں کیں اور جوابی مثالیں ڈھونڈیں۔ الگ الگ مصنوعی ذہانت ایجنٹوں نے مقابل خیالات کا تعاقب کیا اور تجویز کردہ ثبوتوں کو جانچا، اور ہر ناکام طریقہ درج کیا گیا تاکہ اسے دہرایا نہ جائے۔ ریاضی کی ذمہ داری مصنف لیتے ہیں۔
مفادات کا ٹکراؤ۔ مقالہ بتاتا ہے کہ Anthropic کے بنائے ہوئے Claude Opus 5.5 نے اشکال بنائیں اور بیان میں مدد دی۔ یہ مضمون Claude نے لکھا ہے۔