UNA PILA DE ARENA PLANA NO PUEDE DESMORONARSE PARA SIEMPRE

Toma una cuadrícula de casillas. Cada casilla contiene algunos granos de arena. Cuando una casilla llega a cuatro granos —uno por vecina—, se derrumba: envía un grano a cada una de sus cuatro vecinas. Esas vecinas pueden tener ahora cuatro granos y derrumbarse a su vez, y así sucesivamente. Añadir un solo grano puede desencadenar una reacción en cadena: una avalancha.

Es el modelo abeliano de la pila de arena. Bak, Tang y Wiesenfeld lo presentaron en 1987 como ejemplo de criticidad autoorganizada: en sus simulaciones, el tamaño de las avalanchas seguía una ley de potencias, con las pequeñas frecuentes y las enormes raras, sin que nadie ajustara ningún parámetro. Desde entonces fascina a físicos y matemáticos.

Infinita en promedio

Imagina que la cuadrícula se extiende hasta el infinito y que se añaden granos al azar hasta que la pila se estabiliza en su estado típico, «estacionario». Después se añade un grano más en el centro. ¿Hasta dónde llega la avalancha?

Una fórmula de Dhar de 1990 relaciona el número medio de derrumbes con la frecuencia con que un paseo aleatorio —un punto que salta a una vecina al azar en cada paso— vuelve a su punto de partida:

• En tres o más dimensiones, un paseo aleatorio tiende a alejarse para siempre, así que la media es finita. En 2008, Járai y Redig lo usaron para demostrar que las avalanchas siempre se detienen.
• En dos dimensiones, un paseo aleatorio vuelve una y otra vez. El número medio de derrumbes en la casilla de partida es infinito, y también lo es el alcance medio de una avalancha.

Infinita en promedio no tiene por qué significar infinita en la realidad: avalanchas gigantescas y raras pueden disparar la media mientras casi todas las avalanchas siguen siendo finitas. Si era ese el caso en dos dimensiones seguía sin resolverse desde 2004. Los especialistas la habían calificado de «una importante cuestión abierta» y la volvieron a incluir en sus listas en 2014 y 2018.

La respuesta: se detienen

Ahmed Bou-Rabee demuestra que, en dos dimensiones, la avalancha casi seguro se detiene. También da una tasa: la probabilidad de que llegue más allá de una distancia R es como máximo

C (log(R + 2))^(−a)

para ciertas constantes positivas fijas a y C. Es una potencia negativa del logaritmo de R: un descenso muy lento, pero que llega hasta cero. Los argumentos de escala de los físicos predicen un decaimiento mucho más rápido; este resultado es más débil, pero está demostrado.

Leer la avalancha al revés

Una avalancha puede dividirse en oleadas: se derrumba una vez la casilla de partida, se deja que todo lo demás se estabilice y se repite mientras la casilla de partida siga sobrecargada. En dos dimensiones, el número esperado de oleadas es a su vez infinito, lo que había frustrado intentos anteriores.

La nueva demostración esquiva ese recuento:

• Sigue cada avalancha hacia atrás, desde su última oleada hasta la primera, y cuenta solo las oleadas que una avalancha muy grande está obligada a contener.
• Traduce la pregunta a otra sobre un árbol generador uniforme, una red aleatoria de caminos que conecta todas las casillas de la cuadrícula sin formar nunca un bucle. Una correspondencia clásica relaciona las pilas de arena estabilizadas con estos árboles.
• Después demuestra, escala tras escala, que es improbable que cierto número de conexiones de ese árbol sea pequeño. Las herramientas incluyen las redes eléctricas —imaginar cada arista de la cuadrícula como una resistencia de un ohmio— y un antiguo resultado de 1940 que convierte corrientes eléctricas en un teselado de un rectángulo con cuadrados.

Junto al artículo se mantiene una formalización informática de la demostración en el asistente de demostración Lean 4; el artículo no indica que esté completa.

Construida con IA

El artículo describe con detalle cómo se hizo. Los resultados se desarrollaron entre finales de mayo y principios de octubre de 2026 con GPT-5.5 y modelos de la familia GPT-6: el autor dirigió el trabajo, mientras los modelos proponían ideas y biyecciones, las ponían a prueba enumerando todas las pilas de arena en cajas pequeñas, intentaban demostraciones y encontraban contraejemplos. Distintos agentes de IA siguieron ideas en competencia y revisaron las demostraciones propuestas, y cada enfoque fallido quedó registrado para no repetirlo. El autor asume la responsabilidad de las matemáticas.

Conflicto de intereses. El artículo indica que Claude Opus 5.5, creado por Anthropic, hizo las figuras y ayudó con la exposición. Este artículo lo ha escrito Claude.