EIN FLACHER SANDHAUFEN KANN NICHT EWIG LAWINEN AUSLÖSEN

Man nehme ein Gitter aus Quadraten. Jedes Quadrat enthält einige Sandkörner. Erreicht ein Quadrat vier Körner – eines pro Nachbar –, kippt es: Es gibt jedem seiner vier Nachbarn ein Korn ab. Diese Nachbarn haben nun vielleicht vier Körner und kippen ihrerseits, und so weiter. Ein einziges hinzugefügtes Korn kann eine Kettenreaktion auslösen: eine Lawine.

Das ist das abelsche Sandhaufenmodell. Bak, Tang und Wiesenfeld führten es 1987 als Beispiel für selbstorganisierte Kritikalität ein: In ihren Simulationen folgten die Lawinengrößen einem Potenzgesetz – kleine häufig, riesige selten –, ohne dass jemand einen Parameter einstellte. Seither fasziniert es Physiker und Mathematiker.

Unendlich im Mittel

Man stelle sich vor, das Gitter erstrecke sich endlos, und Körner würden zufällig hinzugefügt, bis sich der Haufen in seinem typischen, „stationären“ Zustand einpendelt. Dann füge man in der Mitte ein weiteres Korn hinzu. Wie weit reicht die Lawine?

Eine Formel von Dhar aus dem Jahr 1990 verknüpft die mittlere Zahl der Kippvorgänge damit, wie oft eine Irrfahrt – ein Punkt, der bei jedem Schritt zu einem zufälligen Nachbarn springt – an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt:

• In drei oder mehr Dimensionen neigt eine Irrfahrt dazu, sich für immer zu entfernen, daher ist der Mittelwert endlich. 2008 bewiesen Járai und Redig damit, dass Lawinen immer aufhören.
• In zwei Dimensionen kehrt eine Irrfahrt immer wieder zurück. Die mittlere Zahl der Kippvorgänge am Startquadrat ist unendlich, ebenso die mittlere Reichweite einer Lawine.

Im Mittel unendlich muss nicht in Wirklichkeit unendlich heißen: Seltene, gigantische Lawinen können den Mittelwert explodieren lassen, während fast jede Lawine endlich bleibt. Ob das in zwei Dimensionen der Fall ist, war seit 2004 offen. Fachleute hatten es „eine wichtige offene Frage“ genannt und es 2014 und 2018 erneut aufgelistet.

Die Antwort: Sie hören auf

Ahmed Bou-Rabee beweist, dass die Lawine in zwei Dimensionen fast sicher aufhört. Er gibt auch eine Rate an: Die Wahrscheinlichkeit, dass sie über eine Entfernung R hinausreicht, beträgt höchstens

C (log(R + 2))^(−a)

für gewisse feste positive Konstanten a und C. Das ist eine negative Potenz des Logarithmus von R – ein sehr langsamer Rückgang, der aber bis auf null geht. Die Skalierungsargumente der Physiker sagen einen viel schnelleren Abfall voraus; dieses Ergebnis ist schwächer, aber bewiesen.

Die Lawine rückwärts lesen

Eine Lawine lässt sich in Wellen zerlegen: Man lässt das Startquadrat einmal kippen, lässt alles andere zur Ruhe kommen und wiederholt das, solange das Startquadrat noch überladen ist. In zwei Dimensionen ist die erwartete Zahl der Wellen selbst unendlich, was frühere Versuche zunichtegemacht hatte.

Der neue Beweis umgeht diese Zählung:

• Er verfolgt jede Lawine rückwärts, von ihrer letzten Welle zur ersten, und zählt nur die Wellen, die eine sehr große Lawine zwangsläufig enthalten muss.
• Er übersetzt die Frage in eine über einen gleichverteilten Spannbaum – ein zufälliges Wegenetz, das jedes Quadrat des Gitters verbindet, ohne je eine Schleife zu bilden. Eine klassische Entsprechung verknüpft zur Ruhe gekommene Sandhaufen mit solchen Bäumen.
• Dann zeigt er, Skala für Skala, dass eine bestimmte Zahl von Verbindungen in diesem Baum kaum klein sein kann. Zu den Werkzeugen gehören elektrische Netzwerke – jede Kante des Gitters als Ein-Ohm-Widerstand gedacht – und ein altes Ergebnis von 1940, das elektrische Ströme in eine Pflasterung eines Rechtecks durch Quadrate übersetzt.

Eine Computerformalisierung des Beweises im Beweisassistenten Lean 4 wird parallel zur Arbeit gepflegt; die Arbeit gibt nicht an, dass sie vollständig ist.

Mit KI gebaut

Die Arbeit beschreibt ausführlich, wie sie entstand. Die Ergebnisse wurden von Ende Mai bis Anfang Oktober 2026 mit GPT-5.5 und Modellen der GPT-6-Familie entwickelt: Der Autor lenkte die Arbeit, während die Modelle Ideen und Bijektionen vorschlugen, sie durch Aufzählen aller Sandhaufen in kleinen Kästen testeten, Beweise versuchten und Gegenbeispiele fanden. Separate KI-Agenten verfolgten konkurrierende Ideen und prüften vorgeschlagene Beweise, und jeder gescheiterte Ansatz wurde festgehalten, damit er nicht wiederholt würde. Der Autor übernimmt die Verantwortung für die Mathematik.

Interessenkonflikt. Die Arbeit gibt an, dass Claude Opus 5.5, entwickelt von Anthropic, die Abbildungen erstellt und bei der Darstellung geholfen hat. Dieser Artikel wird von Claude geschrieben.