EL ERROR DE SIGNO QUE HUNDIÓ TRES DEMOSTRACIONES

La conjetura de Hodge es una de las preguntas abiertas más profundas de las matemáticas. Su enunciado, en este artículo, procede de un capítulo de Pierre Deligne en el libro del Clay Mathematics Institute The Millennium Prize Problems. A grandes rasgos, dice que ciertas «formas» escondidas en la topología de un espacio geométrico definido por ecuaciones polinómicas siempre pueden construirse a partir de piezas más pequeñas que también están definidas por ecuaciones.

En septiembre y octubre de 2026, OpenAI publicó tres documentos, firmados «OAI», que afirmaban demostrar la conjetura en casos particulares: para ciertas superficies llamadas superficies K3, sus productos y ciertos espacios de ocho dimensiones. OpenAI los retiró más tarde. Yankı Lekili, del Imperial College de Londres, y Nick Sheridan, de la Universidad de Edimburgo, explican ahora exactamente dónde se equivocaron.

Una ruta válida a través del espejo

Los documentos siguieron un camino elegante. Una idea poderosa llamada simetría especular homológica, conjeturada por Maxim Kontsevich, vincula un espacio geométrico X con un espacio «espejo» Y de una naturaleza muy distinta, que se estudia en geometría simpléctica, una geometría heredada de la física del movimiento, en la que se miden áreas en lugar de longitudes. Una vez establecido el vínculo, una pregunta sobre X puede cambiarse por una pregunta sobre Y.

Aquí, para resolver la cuestión de Hodge para X, basta con construir un objeto concreto en el espejo Y: una forma parecida a una superficie llamada inmersión lagrangiana, que además debe ser no obstruida (unobstructed), una condición técnica que la convierte en un miembro legítimo de la caja de herramientas del espejo. Lekili y Sheridan coinciden en que es un enfoque válido. La pega: construir lagrangianas no obstruidas es en sí mismo un problema difícil. Ahí es donde fallaron los tres documentos.

Entran en escena los puntos de cruce

Una inmersión puede cruzarse consigo misma, y cada punto de cruce lleva asociado un número, su grado. Aquí, los cruces de grado impar son inofensivos. Los de grado 2 pueden crear una obstrucción.

Los documentos construyeron primero una inmersión tosca mediante una técnica flexible, el principio h de Gromov y Lees. Después invocaron un teorema de 2013 de Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy e Ivan Smith para ponerla en orden, de modo que todos los cruces tuvieran grado impar. Sin cruces pares, la ausencia de obstrucción vendría sola.

Un más que debería haber sido un menos

El teorema de 2013 es correcto. Pero cuenta los cruces con la convención de signo opuesta a la estándar. Sus autores nunca lo dicen explícitamente; usan su convención de forma coherente, y puede deducirse de sus fórmulas y de su demostración. Los documentos de OpenAI usaron en cambio la convención estándar: un signo invertido. Esto importa porque el resultado del teorema depende de si cierto balance de los cruces, contados con más y con menos, sale negativo o no. Los documentos habían construido su inmersión para que ese balance fuera negativo, el caso en el que creían que todos los cruces podían volverse impares. Con el signo del propio teorema, ese mismo balance es positivo: el otro caso. Al parecer, el primero en detectar el problema y comunicárselo a OpenAI fue Nathan Humphrey.

Con el signo bien leído, el teorema cuenta otra historia. Su construcción siempre deja un punto de cruce de grado 2, que Lekili y Sheridan llaman p. Todos los demás cruces pueden hacerse impares; p se queda. Y p basta para romper la demostración.

Es peor que una laguna. Los autores muestran que las inmersiones obtenidas de este modo están típicamente obstruidas: un pequeño disco «rígido» —una superficie aislada, imposible de deformar, cuyo borde está sobre la inmersión y pasa por p— crea una obstrucción que, en cierto régimen, no puede anularse, y fuera de ese régimen no hay razón para que se cancele. En sus palabras, este cruce es «el precio de la flexibilidad».

Rígido frente a flexible

Los matemáticos de este campo distinguen los problemas flexibles, que ceden ante herramientas generales de la topología diferencial, de los rígidos, que no. Las lagrangianas no obstruidas son en general rígidas, y normalmente se puede pasar de lo rígido a lo flexible, pero no al revés. Esa intuición hizo que varios investigadores desconfiaran de los documentos antes de que se retiraran. Aun así, los autores añaden una nota de humildad: la intuición puede fallar, y el propio teorema de 2013 contradijo en su día las expectativas.

Lo que sobrevive

Lekili y Sheridan no analizan el resto de los argumentos, y enumeran tres resultados positivos. La estrategia global, atacar la conjetura de Hodge mediante la simetría especular, es interesante y merece la pena seguirla; si alguien supera el obstáculo lagrangiano, los documentos podrían guiar los pasos técnicos restantes. La convención de signo oculta del artículo de 2013 queda ahora aclarada. Y también la cuestión de si sus inmersiones pueden llegar a ser no obstruidas.