3つの証明を沈めた符号の取り違え

ホッジ予想は、数学で最も深い未解決問題の一つである。この論文では、その主張をクレイ数学研究所の書籍『ミレニアム懸賞問題』（The Millennium Prize Problems）に収められたピエール・ドリーニュの章から引いている。ごく大まかに言えば、多項式の方程式で定義される幾何学的な空間の位相に隠れたある種の「形」は、それ自体も方程式で定義される、より小さな部品から必ず組み立てられる、という主張である。

2026年9月と10月、OpenAIは「OAI」と署名された3つの文書を公開し、特別な場合――K3曲面と呼ばれるある種の曲面、それらの積、そしてある種の8次元空間――についてこの予想を証明したと主張した。OpenAIはのちに3つすべてを撤回した。インペリアル・カレッジ・ロンドンのYankı Lekiliとエディンバラ大学のNick Sheridanが今回、それらがどこで誤ったのかを正確に説明している。

鏡を通る正当な道筋

文書は優美な道をたどった。マキシム・コンツェビッチが予想したホモロジー的ミラー対称性という強力な考え方は、幾何学的な空間Xを、まったく種類の異なる「鏡」の空間Yに結びつける。Yはシンプレクティック幾何学で研究される空間だ。これは運動の物理学から受け継がれた幾何学で、長さではなく面積を測る。この結びつきが確立されれば、Xについての問いをYについての問いに置き換えることができる。

ここでは、Xについてのホッジの問いに決着をつけるには、鏡Yの中に特定の対象を構成すれば十分である。ラグランジュはめ込み（Lagrangian immersion）と呼ばれる曲面のような形で、これはさらに非障害的（unobstructed）でなければならない。非障害的とは、それを鏡の道具箱の正式な一員にする技術的な条件だ。LekiliとSheridanは、これが正当な方針であることに同意している。問題は、非障害的なラグランジュ部分多様体を構成すること自体が難問だということだ。3つの文書はすべて、まさにそこで破綻した。

交差点が登場するところ

はめ込みは自分自身と交差してよく、それぞれの交差点には次数という数がついている。ここでは、奇数次数の交差は無害である。次数2の交差は障害を生みうる。

文書はまず、グロモフとリーズのh原理という柔軟な手法を使って大まかなはめ込みを構成した。次に、Tobias Ekholm、Yakov Eliashberg、Emmy Murphy、Ivan Smithによる2013年の定理を持ち出してそれを整え、すべての交差が奇数次数になるようにした。偶数の交差が一つも残らなければ、非障害性が導かれるはずだった。

マイナスであるべきだったプラス

2013年の定理は正しい。しかしそれは、交差を標準とは逆の符号の規約で数えている。著者たちはそのことを明示的には述べていない。自分たちの規約を一貫して使っており、それは数式と証明から読み取ることができる。OpenAIの文書は代わりに標準の規約を使った――符号が一つ反転していたのである。これが重要なのは、定理の結論が、交差をプラスとマイナスで数えたある合計が負になるかどうかで決まるからだ。文書は、この合計が負になるようにはめ込みを構成していた。すべての交差を奇数次数にできると彼らが考えた場合である。ところが定理自身の符号で数えると、同じ合計は正になる。つまり、もう一方の場合なのだ。この問題は、どうやらNathan Humphreyが最初に気づき、OpenAIに報告したようだ。

符号を正しく読むと、定理は別のことを語る。その構成は必ず次数2の交差点を一つ残す。LekiliとSheridanはこれをpと呼ぶ。ほかの交差はすべて奇数にできるが、pは残る。そしてpだけで証明は崩れる。

事態は単なる穴よりも悪い。著者たちは、このようにして得られるはめ込みが典型的には障害をもつことを示す。小さな「剛的な」円板――孤立した面で、変形させることができず、その縁がはめ込みの上にあってpを通る――が障害を生み、ある領域ではそれが消えることはありえない。その領域の外でも、打ち消し合う理由はない。彼らの言葉を借りれば、この交差は「柔軟性の代償」なのだ。

剛性と柔軟性

この分野の数学者は、微分位相幾何学の汎用的な道具で解ける柔軟な問題と、そうはいかない剛的な問題を区別する。非障害的なラグランジュ部分多様体は一般に剛的であり、ふつう剛的なものから柔軟なものへは行けても、その逆は行けない。この直観から、何人かの研究者は文書が撤回される前から懐疑的だった。それでも著者たちは謙虚さを示す一言を添えている。直観は外れうるし、2013年の定理そのものもかつて予想を覆したのだ。

何が残るのか

LekiliとSheridanは議論の残りの部分は分析しておらず、3つの前向きな成果を挙げている。全体の戦略――ミラー対称性を通じてホッジ予想に挑むこと――は興味深く、追究する価値がある。誰かがラグランジュの障壁を乗り越えれば、文書は残りの技術的な段階の道しるべになるかもしれない。2013年の論文に隠れていた符号の規約は、いまや明らかになった。そして、そのはめ込みが非障害的になりうるのかという問いもまた明らかになった。