KUSKUREN ALAMA DA YA NUTSAR DA HUJJOJI UKU

Hasashen Hodge (Hodge conjecture) yana ɗaya daga cikin tambayoyi mafiya zurfi da ba a warware ba a lissafi. An ɗauko bayaninsa, a cikin wannan takarda, daga wani babi na Pierre Deligne a cikin littafin Clay Mathematics Institute mai suna The Millennium Prize Problems. A taƙaice sosai, yana cewa wasu “siffofi” da ke ɓoye a cikin tsarin topology na wani fili na lissafin siffofi da aka ayyana ta hanyar lissafin polynomial koyaushe ana iya gina su daga ƙananan guntaye waɗanda su ma aka ayyana su ta hanyar lissafi.

A watan Satumba da Oktoba 2026, OpenAI ta fitar da takardu uku, masu sa hannun “OAI”, da ke iƙirarin tabbatar da hasashen a wasu yanayi na musamman: ga wasu filaye da ake kira K3 surfaces, haɗe-haɗensu (products), da wasu filaye masu girma takwas. Daga baya OpenAI ta janye dukansu uku. Yankı Lekili, na Imperial College London, da Nick Sheridan, na Jami’ar Edinburgh, yanzu sun bayyana daidai inda suka yi kuskure.

Hanya ingantacciya ta cikin madubi

Takardun sun bi wata kyakkyawar hanya. Wani ra’ayi mai ƙarfi da ake kira kamanceceniyar madubi ta homology (homological mirror symmetry), wanda Maxim Kontsevich ya yi hasashensa, yana haɗa wani fili na lissafin siffofi X da wani fili na “madubi” Y na wani nau’i dabam sosai, wanda ake nazarinsa a cikin lissafin siffofi na symplectic (symplectic geometry) — lissafin siffofi da aka gada daga ilimin kimiyyar motsi, inda ake auna fili (area) maimakon tsayi. Da zarar an tabbatar da haɗin, ana iya musanya tambaya game da X da tambaya game da Y.

A nan, don warware tambayar Hodge ga X, ya isa a gina wani abu na musamman a cikin madubin Y: wata siffa mai kama da fili da ake kira Lagrangian immersion, wadda dole ne kuma ta kasance ba ta da cikas (unobstructed) — wani sharaɗi na fasaha da ke sa ta zama halastacciyar memba ta kayan aikin madubin. Lekili da Sheridan sun yarda cewa wannan hanya ingantacciya ce. Matsalar: gina Lagrangians marasa cikas ita kanta matsala ce mai wuya. A nan ne dukan takardu ukun suka rushe.

Inda wuraren mahaɗa ke shigowa

An yarda immersion ta ratsa kanta, kuma kowane wurin mahaɗa yana ɗauke da lamba, wato darajarsa (degree). Mahaɗai masu darajar mara (odd) ba su da illa a nan. Mahaɗai masu darajar 2 na iya haifar da cikas.

Takardun sun fara gina wata immersion mara kyau ta amfani da wata dabara mai sassauci, h-principle na Gromov da Lees. Sannan suka kira wata ka’ida ta 2013 ta Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy da Ivan Smith don su gyara ta, ta yadda kowane mahaɗa zai sami darajar mara. Idan babu mahaɗai masu darajar cika (even) da suka rage, rashin cikas zai biyo baya.

Alamar ƙari da ya kamata ta zama ta ragi

Ka’idar 2013 daidai ce. Amma tana ƙirga mahaɗai da akasin tsarin alama na wanda aka saba. Marubutanta ba su taɓa faɗin haka a fili ba; suna amfani da tsarinsu a kai a kai, kuma ana iya gano shi daga dabarunsu (formulas) da hujjarsu. Takardun OpenAI kuwa sun yi amfani da tsarin da aka saba — alama ɗaya ta juye. Wannan yana da muhimmanci saboda sakamakon ka’idar ya dogara ne kan ko wata jimillar mahaɗai, da aka ƙirga da ƙari da ragi, ta fito ƙasa da sifili (negative) ko a’a. Takardun sun gina immersion ɗinsu ta yadda jimillar ta zama ƙasa da sifili — yanayin da suka yi imani cewa a cikinsa za a iya sa kowane mahaɗa ya zama mara. Da alamar ka’idar kanta, wannan jimillar dai ta fi sifili (positive): wato ɗayan yanayin. Da alama Nathan Humphrey ne ya fara lura da matsalar kuma ya kai rahoto ga OpenAI.

Idan aka karanta alamar daidai, ka’idar tana ba da wani labari dabam. Gininta kullum yana barin wurin mahaɗa ɗaya mai darajar 2, wanda Lekili da Sheridan ke kira p. Kowane mahaɗa dabam ana iya sa shi ya zama mara; p yana nan. Kuma p ya isa ya karya hujjar.

Ya fi gibi muni. Marubutan sun nuna cewa immersions da aka samar ta wannan hanya yawanci suna da cikas: wani ƙaramin faifai “mai tauri” (rigid disc) — wani fili keɓantacce da ba za a iya sauya fasalinsa ba, wanda gefensa ke kan immersion ɗin kuma yana ratsawa ta p — yana haifar da cikas wanda, a wani yanayi, ba zai iya ɓacewa ba — kuma a wajen wannan yanayin babu dalilin da zai sa ya soke kansa. A kalamansu, wannan mahaɗa shi ne “farashin sassauci”.

Tauri da sassauci

Masana lissafi a wannan fanni suna bambanta matsaloli masu sassauci (flexible), waɗanda ke mika wuya ga kayan aikin gama-gari na topology na bambanci (differential topology), da matsaloli masu tauri (rigid), waɗanda ba sa yin haka. Lagrangians marasa cikas yawanci masu tauri ne, kuma yawanci ana iya tafiya daga tauri zuwa sassauci amma ba a dawowa. Wannan fahimta ta sa masu bincike da dama suka yi shakkar takardun kafin a janye su. Duk da haka marubutan sun ƙara wata kalma ta tawali’u: fahimta na iya kasawa, kuma ka’idar 2013 ita kanta ta taɓa saɓa wa abin da ake tsammani.

Abin da ya tsira

Lekili da Sheridan ba su yi nazarin sauran hujjojin ba, kuma sun lissafa sakamako masu kyau guda uku. Dabarar gaba ɗaya — kai wa hasashen Hodge hari ta hanyar kamanceceniyar madubi — mai ban sha’awa ce kuma ta cancanci a ci gaba da ita; idan wani ya shawo kan cikas ɗin Lagrangian, takardun na iya jagorantar sauran matakan fasaha. Tsarin alama da ke ɓoye a cikin takardar 2013 yanzu ya bayyana. Haka ma tambayar ko immersions ɗinta za su iya kasancewa marasa cikas wata rana.