O DESLIZE DE SINAL QUE AFUNDOU TRÊS DEMONSTRAÇÕES

A conjectura de Hodge é uma das questões em aberto mais profundas da matemática. Seu enunciado, neste artigo, é tirado de um capítulo de Pierre Deligne no livro The Millennium Prize Problems, do Clay Mathematics Institute. Muito grosso modo, ela diz que certas “formas” escondidas na topologia de um espaço geométrico definido por equações polinomiais sempre podem ser construídas a partir de peças menores que também são definidas por equações.

Em setembro e outubro de 2026, a OpenAI divulgou três documentos, assinados “OAI”, que afirmavam provar a conjectura em casos especiais: para certas superfícies chamadas superfícies K3, para seus produtos e para certos espaços de oito dimensões. Mais tarde, a OpenAI retirou os três. Yankı Lekili, do Imperial College London, e Nick Sheridan, da Universidade de Edimburgo, explicam agora exatamente onde eles erraram.

Um caminho válido através do espelho

Os documentos seguiam um caminho elegante. Uma ideia poderosa chamada simetria especular homológica (homological mirror symmetry), conjecturada por Maxim Kontsevich, liga um espaço geométrico X a um espaço “espelho” Y de natureza bem diferente, estudado em geometria simplética — uma geometria herdada da física do movimento, na qual se medem áreas em vez de comprimentos. Uma vez estabelecida essa ligação, uma pergunta sobre X pode ser trocada por uma pergunta sobre Y.

Aqui, para resolver a questão de Hodge para X, basta construir um objeto particular no espelho Y: uma forma parecida com uma superfície chamada imersão lagrangiana, que também precisa ser não obstruída — uma condição técnica que a torna um membro legítimo da caixa de ferramentas do espelho. Lekili e Sheridan concordam que essa é uma abordagem válida. O problema: construir lagrangianas não obstruídas é, por si só, um problema difícil. Foi aí que os três documentos falharam.

Onde entram os pontos de cruzamento

Uma imersão pode cruzar a si mesma, e cada ponto de cruzamento carrega um número, seu grau. Cruzamentos de grau ímpar são inofensivos aqui. Cruzamentos de grau 2 podem criar uma obstrução.

Os documentos primeiro construíam uma imersão grosseira usando uma técnica flexível, o h-princípio de Gromov e Lees. Depois invocavam um teorema de 2013 de Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy e Ivan Smith para arrumá-la, de modo que todos os cruzamentos tivessem grau ímpar. Sem cruzamentos pares restantes, a não obstrução viria em seguida.

Um mais que deveria ter sido um menos

O teorema de 2013 está correto. Mas ele conta os cruzamentos com a convenção de sinal oposta à padrão. Seus autores nunca dizem isso explicitamente; usam sua convenção de forma coerente, e ela pode ser deduzida de suas fórmulas e de sua demonstração. Os documentos da OpenAI usaram, em vez disso, a convenção padrão — um sinal invertido. Isso importa porque o resultado do teorema depende de um certo saldo dos cruzamentos, contado com sinais de mais e de menos, ser negativo ou não. Os documentos tinham construído sua imersão de modo que esse saldo fosse negativo — o caso em que acreditavam que todo cruzamento podia ser tornado ímpar. Com o sinal do próprio teorema, o mesmo saldo é positivo: o outro caso. O problema foi aparentemente notado primeiro por Nathan Humphrey, que o comunicou à OpenAI.

Com o sinal lido corretamente, o teorema conta outra história. Sua construção sempre deixa um ponto de cruzamento de grau 2, que Lekili e Sheridan chamam de p. Todos os outros cruzamentos podem ser tornados ímpares; p permanece. E p basta para quebrar a demonstração.

É pior do que uma lacuna. Os autores mostram que as imersões produzidas dessa maneira são tipicamente obstruídas: um pequeno disco “rígido” — uma superfície isolada, impossível de deformar, cuja borda fica sobre a imersão e passa por p — cria uma obstrução que, num certo regime, não pode se anular — e, fora desse regime, não há razão para que ela se cancele. Nas palavras deles, esse cruzamento é “o preço da flexibilidade”.

Rígido versus flexível

Os matemáticos dessa área distinguem problemas flexíveis, que cedem a ferramentas de uso geral da topologia diferencial, dos rígidos, que não cedem. Lagrangianas não obstruídas são em geral rígidas, e normalmente é possível ir do rígido ao flexível, mas não voltar. Essa intuição deixou vários pesquisadores céticos em relação aos documentos antes mesmo de serem retirados. Ainda assim, os autores acrescentam uma nota de humildade: a intuição pode falhar, e o próprio teorema de 2013 um dia contrariou as expectativas.

O que sobrevive

Lekili e Sheridan não analisam o resto dos argumentos e listam três resultados positivos. A estratégia geral — atacar a conjectura de Hodge pela simetria especular — é interessante e merece ser seguida; se alguém superar o obstáculo lagrangiano, os documentos podem guiar as etapas técnicas restantes. A convenção de sinal escondida do artigo de 2013 agora está esclarecida. E também a questão de saber se suas imersões podem algum dia ser não obstruídas.