L'ERREUR DE SIGNE QUI A COULÉ TROIS PREUVES

La conjecture de Hodge est l’une des questions ouvertes les plus profondes des mathématiques. Son énoncé, dans cet article, est tiré d’un chapitre de Pierre Deligne dans le livre du Clay Mathematics Institute The Millennium Prize Problems. Très grossièrement, elle affirme que certaines « formes » cachées dans la topologie d’un espace géométrique défini par des équations polynomiales peuvent toujours être construites à partir de morceaux plus petits, eux-mêmes définis par des équations.

En septembre et octobre 2026, OpenAI a publié trois documents, signés « OAI », qui affirmaient démontrer la conjecture dans des cas particuliers : pour certaines surfaces appelées surfaces K3, pour leurs produits, et pour certains espaces de dimension huit. OpenAI les a ensuite retirés tous les trois. Yankı Lekili, de l’Imperial College de Londres, et Nick Sheridan, de l’université d’Édimbourg, expliquent aujourd’hui précisément où ils ont fauté.

Une route valable, par le miroir

Les documents empruntaient un chemin élégant. Une idée puissante, la symétrie miroir homologique, conjecturée par Maxim Kontsevich, relie un espace géométrique X à un espace « miroir » Y d’une tout autre nature, étudié en géométrie symplectique — une géométrie héritée de la physique du mouvement, où l’on mesure des aires plutôt que des longueurs. Une fois le lien établi, une question sur X peut s’échanger contre une question sur Y.

Ici, pour trancher la question de Hodge sur X, il suffit de construire un objet particulier dans le miroir Y : une forme apparentée à une surface, appelée immersion lagrangienne, qui doit en plus être non obstruée — une condition technique qui en fait un membre légitime de la boîte à outils du miroir. Lekili et Sheridan conviennent que l’approche est valable. Le hic : construire des lagrangiennes non obstruées est en soi un problème difficile. C’est là que les trois documents ont échoué.

Les points de croisement entrent en scène

Une immersion a le droit de se croiser elle-même, et chaque point de croisement porte un nombre, son degré. Ici, les croisements de degré impair sont inoffensifs. Ceux de degré 2 peuvent créer une obstruction.

Les documents construisaient d’abord une immersion grossière avec le h-principe de Gromov et Lees, un outil général de la topologie différentielle, du genre que les mathématiciens appellent flexible. Puis ils invoquaient un théorème de 2013 de Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy et Ivan Smith pour la mettre en ordre, de façon que tous les croisements soient de degré impair. Sans croisement pair, la non-obstruction s’ensuivrait.

Un plus qui aurait dû être un moins

Le théorème de 2013 est juste. Mais il compte les croisements avec la convention de signe inverse de la convention standard. Ses auteurs ne le disent jamais explicitement ; ils l’utilisent de façon cohérente, et on peut la déduire de leurs formules et de leur preuve. Les documents d’OpenAI ont utilisé la convention standard — un signe inversé. C’est décisif, car la conclusion du théorème dépend du signe d’un certain total des croisements, comptés en plus et en moins. Les documents avaient construit leur immersion pour que ce total soit négatif, le cas où ils pensaient pouvoir rendre tous les croisements impairs. Avec le signe propre au théorème, ce même total devient positif : c’est l’autre cas. Le problème aurait d’abord été repéré et signalé à OpenAI par Nathan Humphrey.

Avec le signe bien lu, le théorème raconte autre chose. Sa construction laisse toujours un point de croisement de degré 2, que Lekili et Sheridan appellent p. Tous les autres croisements peuvent être rendus impairs ; p reste. Et p suffit à casser la preuve.

C’est pire qu’une lacune. Les auteurs montrent que les immersions ainsi produites sont en général obstruées : un petit disque « rigide » — une surface isolée, impossible à déformer, dont le bord repose sur l’immersion et passe par p — crée une obstruction qui, dans un certain régime, ne peut pas s’annuler — et hors de ce régime, rien ne permet de penser qu’elle se compenserait. Selon leurs mots, ce croisement est « le prix de la flexibilité ».

Rigide contre flexible

Dans ce domaine, les mathématiciens distinguent les problèmes flexibles, qui cèdent aux outils généraux de la topologie différentielle, des problèmes rigides, qui y résistent. Les lagrangiennes non obstruées sont en général rigides, et l’on passe d’ordinaire du rigide au flexible, pas l’inverse. Cette intuition avait rendu plusieurs chercheurs sceptiques face aux documents, avant leur retrait. Les auteurs ajoutent toutefois une note d’humilité : l’intuition peut se tromper, et le théorème de 2013 lui-même avait autrefois contredit les attentes.

Ce qui survit

Lekili et Sheridan n’analysent pas le reste des raisonnements, et ils relèvent trois retombées positives. La stratégie d’ensemble — attaquer la conjecture de Hodge par la symétrie miroir — est intéressante et mérite d’être poursuivie ; si quelqu’un surmonte l’obstacle des lagrangiennes, les documents pourraient guider les étapes techniques restantes. La convention de signe cachée de l’article de 2013 est désormais clarifiée. Tout comme la question de savoir si ses immersions peuvent un jour être non obstruées.