চিহ্নের যে ভুল তিনটি প্রমাণ ডুবিয়ে দিল

হজ অনুমান (Hodge conjecture) গণিতের সবচেয়ে গভীর অমীমাংসিত প্রশ্নগুলোর একটি। এই গবেষণাপত্রে এর বিবৃতি নেওয়া হয়েছে Clay Mathematics Institute-এর বই The Millennium Prize Problems-এ Pierre Deligne-এর লেখা একটি অধ্যায় থেকে। খুব মোটা দাগে, এটি বলে যে বহুপদী সমীকরণ দিয়ে সংজ্ঞায়িত কোনো জ্যামিতিক স্থানের টপোলজিতে লুকোনো কিছু “আকৃতি” সবসময় এমন ছোট ছোট টুকরো দিয়ে গড়া যায়, যেগুলো নিজেরাও সমীকরণ দিয়ে সংজ্ঞায়িত।

2026 সালের সেপ্টেম্বর ও অক্টোবরে OpenAI “OAI” স্বাক্ষরিত তিনটি নথি প্রকাশ করে, যেগুলো বিশেষ কিছু ক্ষেত্রে অনুমানটি প্রমাণের দাবি করেছিল: K3 তল নামে পরিচিত কিছু তলের জন্য, তাদের গুণফলের জন্য, এবং কিছু আট-মাত্রিক স্থানের জন্য। পরে OpenAI তিনটিই প্রত্যাহার করে। Imperial College London-এর Yankı Lekili এবং University of Edinburgh-এর Nick Sheridan এবার ঠিক কোথায় সেগুলো ভুল করেছে, তা ব্যাখ্যা করেছেন।

আয়নার মধ্য দিয়ে একটি বৈধ পথ

নথিগুলো একটি সুন্দর পথ নিয়েছিল। হোমোলজিক্যাল মিরর সিমেট্রি (homological mirror symmetry) নামের একটি শক্তিশালী ধারণা, যার অনুমান করেছিলেন Maxim Kontsevich, একটি জ্যামিতিক স্থান X-কে সম্পূর্ণ ভিন্ন ধরনের একটি “আয়না” স্থান Y-এর সঙ্গে যুক্ত করে, যা অধ্যয়ন করা হয় সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতিতে (symplectic geometry) — গতির পদার্থবিদ্যা থেকে আসা এক জ্যামিতি, যেখানে দৈর্ঘ্যের বদলে ক্ষেত্রফল মাপা হয়। সংযোগটি প্রতিষ্ঠিত হলে X সম্পর্কে একটি প্রশ্নকে Y সম্পর্কে একটি প্রশ্নে বদলে নেওয়া যায়।

এখানে X-এর জন্য হজের প্রশ্নটি মীমাংসা করতে আয়না Y-তে একটি নির্দিষ্ট বস্তু গড়াই যথেষ্ট: তলের মতো একটি আকৃতি, যার নাম ল্যাগ্রাঞ্জীয় নিমজ্জন (Lagrangian immersion), এবং যাকে বাধাহীন (unobstructed) হতেই হবে — একটি কারিগরি শর্ত, যা একে আয়নার হাতিয়ার-বাক্সের একটি বৈধ সদস্য করে তোলে। Lekili ও Sheridan একমত যে এটি একটি বৈধ পদ্ধতি। গোলমাল হলো: বাধাহীন ল্যাগ্রাঞ্জীয় গড়া নিজেই একটি কঠিন সমস্যা। তিনটি নথিই ঠিক এখানে ভেঙে পড়েছে।

ছেদবিন্দুরা কোথায় আসে

একটি নিমজ্জন নিজেকে ছেদ করতে পারে, আর প্রতিটি ছেদবিন্দুর সঙ্গে একটি সংখ্যা থাকে, তার মাত্রা (degree)। এখানে বিজোড় মাত্রার ছেদ নিরীহ। মাত্রা 2-এর ছেদ বাধা তৈরি করতে পারে।

নথিগুলো প্রথমে একটি নমনীয় কৌশল, Gromov ও Lees-এর h-নীতি (h-principle), ব্যবহার করে একটি খসড়া নিমজ্জন গড়ে। তারপর সেটিকে গুছিয়ে নিতে Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy ও Ivan Smith-এর 2013 সালের একটি উপপাদ্যের আশ্রয় নেয়, যাতে প্রতিটি ছেদের মাত্রা বিজোড় হয়। জোড় ছেদ না থাকলে বাধাহীনতা আপনিই প্রমাণিত হতো।

যে যোগচিহ্নটি বিয়োগচিহ্ন হওয়ার কথা ছিল

2013 সালের উপপাদ্যটি সঠিক। কিন্তু এটি ছেদগুলো গোনে প্রমিত রীতির উল্টো চিহ্ন-রীতিতে। এর লেখকেরা কখনো তা স্পষ্ট করে বলেননি; তাঁরা নিজেদের রীতি সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে ব্যবহার করেন, এবং তা তাঁদের সূত্র ও প্রমাণ থেকে অনুমান করা যায়। OpenAI-এর নথিগুলো তার বদলে প্রমিত রীতি ব্যবহার করেছে — একটি চিহ্ন উল্টে গেছে। এটা গুরুত্বপূর্ণ, কারণ উপপাদ্যটির ফল নির্ভর করে ছেদগুলোর একটি নির্দিষ্ট হিসাব, যোগ ও বিয়োগ চিহ্নসহ গোনা, ঋণাত্মক হয় কি না তার ওপর। নথিগুলো তাদের নিমজ্জন এমনভাবে গড়েছিল যাতে এই হিসাব ঋণাত্মক হয় — সেই ক্ষেত্র, যেখানে তাদের ধারণা ছিল প্রতিটি ছেদকে বিজোড় করা যায়। উপপাদ্যটির নিজের চিহ্ন ধরলে একই হিসাব ধনাত্মক: অর্থাৎ অন্য ক্ষেত্রটি। সমস্যাটি সম্ভবত প্রথম ধরেছিলেন Nathan Humphrey, এবং তিনিই OpenAI-কে তা জানিয়েছিলেন।

চিহ্নটি ঠিকভাবে পড়লে উপপাদ্যটি অন্য কাহিনি বলে। এর নির্মাণ সবসময় মাত্রা 2-এর একটি ছেদবিন্দু রেখে যায়, যাকে Lekili ও Sheridan বলেছেন p। বাকি প্রতিটি ছেদকে বিজোড় করা যায়; p থেকে যায়। আর প্রমাণ ভাঙতে p-ই যথেষ্ট।

এটা একটা ফাঁকের চেয়েও খারাপ। লেখকেরা দেখিয়েছেন, এভাবে তৈরি নিমজ্জনগুলো সাধারণত বাধাযুক্ত: একটি ছোট “দৃঢ়” চাকতি — একটি বিচ্ছিন্ন তল, যাকে বিকৃত করা যায় না, আর যার কিনারা নিমজ্জনটির ওপর থাকে এবং p দিয়ে যায় — এমন একটি বাধা তৈরি করে যা একটি নির্দিষ্ট পরিসরে মিলিয়ে যেতে পারে না — আর সেই পরিসরের বাইরে এর কাটাকাটি হয়ে যাওয়ার কোনো কারণ নেই। তাঁদের ভাষায়, এই ছেদটি হলো “নমনীয়তার মূল্য”।

দৃঢ় বনাম নমনীয়

এই ক্ষেত্রের গণিতবিদেরা নমনীয় সমস্যা, যা অবকল টপোলজির সাধারণ-উদ্দেশ্যের হাতিয়ারের কাছে হার মানে, আর দৃঢ় সমস্যা, যা মানে না, এই দুয়ের মধ্যে পার্থক্য করেন। বাধাহীন ল্যাগ্রাঞ্জীয় সাধারণত দৃঢ়, আর সাধারণত দৃঢ় থেকে নমনীয়ে যাওয়া যায়, উল্টোটা নয়। এই অন্তর্জ্ঞানের কারণেই কয়েকজন গবেষক নথিগুলো প্রত্যাহারের আগেই সেগুলো নিয়ে সন্দিহান ছিলেন। তবু লেখকেরা বিনয়ের একটি সুর যোগ করেন: অন্তর্জ্ঞান ভুল করতে পারে, আর 2013 সালের উপপাদ্যটি নিজেও একসময় প্রত্যাশাকে মিথ্যা প্রমাণ করেছিল।

কী টিকে থাকে

Lekili ও Sheridan যুক্তির বাকি অংশ বিশ্লেষণ করেননি, এবং তিনটি ইতিবাচক ফলের তালিকা দিয়েছেন। সামগ্রিক কৌশলটি — মিরর সিমেট্রির মাধ্যমে হজ অনুমানে আক্রমণ — আকর্ষণীয় ও এগিয়ে নেওয়ার যোগ্য; কেউ যদি ল্যাগ্রাঞ্জীয় বাধাটি পেরোতে পারেন, তবে নথিগুলো বাকি কারিগরি ধাপগুলোতে পথ দেখাতে পারে। 2013 সালের গবেষণাপত্রের লুকোনো চিহ্ন-রীতি এখন স্পষ্ট হয়েছে। আর এই প্রশ্নটিও, যে এর নিমজ্জনগুলো কখনো বাধাহীন হতে পারে কি না।