পর্দার রড দিয়ে সূর্য মাপা

সামোসের অ্যারিস্টার্কাস (আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব ৩১০–২৩০), একজন গ্রিক জ্যোতির্বিদ ও গণিতবিদ, ছিলেন প্রথম পরিচিত চিন্তাবিদ যিনি প্রস্তাব করেছিলেন যে কেন্দ্রে পৃথিবী নয়, সূর্য আছে। তিনি এটাও মাপতে চেয়েছিলেন যে চাঁদের তুলনায় সূর্য আমাদের থেকে কত গুণ বেশি দূরে।

আকাশে একটি সমকোণ

তাঁর জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি: প্রথম বা শেষ পাদে (অর্ধচন্দ্রে), যখন চাঁদের ঠিক অর্ধেক আলোকিত থাকে, তখন সূর্য, চাঁদ ও পৃথিবী এমন একটি ত্রিভুজ তৈরি করে যার সমকোণটি চাঁদে। পৃথিবী থেকে দেখা সূর্য ও চাঁদের মধ্যবর্তী কোণ δ মাপলেই দুই দূরত্বের অনুপাত পাওয়া যায়: λ = sec(δ), অর্থাৎ 1 / cos δ।

অ্যারিস্টার্কাস পেয়েছিলেন δ ≈ ৮৭°, তাই λ ≈ ১৯: অর্থাৎ সূর্য চাঁদের চেয়ে প্রায় ১৯ গুণ দূরে। তিনি কীভাবে ৮৭° পেয়েছিলেন, তা আজও এক রহস্য। একটি অনুমান বলে, তিনি চান্দ্রচক্রের দুই অর্ধেকের মধ্যে এক দিনের পার্থক্য ধরে নিয়েছিলেন।

আসল মান প্রায় ৪০০, যা δ ≈ ৮৯° ৫১′ কোণের সঙ্গে মেলে।

ফাঁদটা হলো: ৯০°-এর কাছে কোণে অতি সামান্য ভুলও ফলাফলকে বিপুলভাবে বদলে দেয়। ৮৭° দেয় ১৯; ৮৯° দেয় প্রায় ৫৭; ৮৯° ৫১′ দেয় প্রায় ৪০০। আর কোণটি ঘণ্টায় প্রায় ৩০ আর্ক-মিনিট সরে যায়, তাই পাদের সময়ে দুই মিনিটের ভুল মানেই প্রায় এক আর্ক-মিনিটের ভুল।

যন্ত্রটি

আদোলফো ইবানিয়েস বিশ্ববিদ্যালয় (সান্তিয়াগো, চিলি) ও মাদ্রিদের কমপ্লুটেন্স বিশ্ববিদ্যালয়ের উগো কায়েরোলস ও তাঁর সহকর্মীরা এমন একটি জিনিস বানিয়েছেন যা যে কেউ নকল করতে পারে:

• ১.৫ মিটারের একটি পর্দার রড, ১.১ সেমি চওড়া, “দোকানে ঠিক যেমন পেয়েছিলাম তেমনই”, একটি ক্যামেরার তেপায়ার ওপর;
• রডের ভেতর দিয়ে তাকিয়ে রডটি চাঁদের দিকে তাক করা হয়, আর সূর্য তার ছায়া মাটিতে ফেলে;
• মাপার ফিতা দিয়ে তিনটি দৈর্ঘ্য মাপা হয়: রডের প্রতিটি প্রান্ত থেকে তার ছায়ার সংশ্লিষ্ট প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব, এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য। এরপর কোসাইন সূত্র (law of cosines) থেকে δ পাওয়া যায়।

চতুর দিকটা হলো: সূর্য আর চাঁদকে একসঙ্গে তাক করার দরকার নেই, আর কোনো কোণ সরাসরি মাপারও দরকার নেই — যা এক আর্ক-মিনিটের নির্ভুলতায় করা খুবই কঠিন। ছায়াটি দ্রুত সরে, প্রায় ৩০ সেকেন্ডেই তা চোখে পড়ে, তাই দলটি কাঠের ছোট কফি-নাড়ানি কাঠি দিয়ে ছায়ার প্রান্তগুলো চিহ্নিত করেছিল।

১,০০০টি পরিমাপের একটি কম্পিউটার সিমুলেশন দেখিয়েছে কী আশা করা যায়: ১ মিমি পরিমাপ-ত্রুটি কোণে প্রায় ৫′ ত্রুটি দেয়; ৫ মিমি দেয় প্রায় ২৭′। চাঁদ উঁচুতে থাকলে এবং ২ মিটারের রড ব্যবহার করলে ত্রুটি কমে।

আসল পরিমাপ

১০ অক্টোবর ২০২৪, সান্তিয়াগোর সান ক্রিস্তোবাল পাহাড়ের ফস্টার মানমন্দিরে, শেষ পাদ পড়েছিল ১৩:৫৭-তে। দিগন্তে মেঘ সবকিছু পিছিয়ে দেয়; প্রথম ব্যবহারযোগ্য পরিমাপ আসে ১৫:০০-র পরে।

দলটি ১৫:০০ থেকে ১৬:৩০-এর মধ্যে ১৭টি পরিমাপ নেয়। Stellarium সফটওয়্যারের নির্ভুল মানের তুলনায় আলাদা আলাদা ত্রুটি ছিল −৩২′ থেকে +১৬′। একটি সরলরেখা-ফিট, পাদের সময় পর্যন্ত পিছিয়ে টেনে, দিয়েছে δ = ৮৯° ২৫′ ± ১২′, তাই λ ≈ ৯৭।

এটি এখনো আসল মানের চেয়ে প্রায় চার গুণ কম — ৯০°-এর কাছে পদ্ধতিটি কতটা সংবেদনশীল, তারই স্মারক। কিন্তু এটি অ্যারিস্টার্কাসের চেয়ে পাঁচ গুণ ভালো, তাও হার্ডওয়্যারের দোকানের সরঞ্জামে।

প্রথম একটি যন্ত্র, যাতে সূর্য ও চাঁদকে একসঙ্গে তাক করতে লেজার পয়েন্টার আর ডিজিটাল চাঁদা ব্যবহার করা হয়েছিল, বাদ দেওয়া হয়: সারিবদ্ধকরণের ভুল ছিল অনেক বেশি।

নির্ভুলতা কীসে সীমিত

1. প্রধানটি: পাদের সঠিক মুহূর্ত জানা। খালি চোখে চাঁদের ওপর ছায়ার রেখা এক ঘণ্টায় প্রায় বদলায়ই না, অথচ কোণটি আধা ডিগ্রি সরে যায়।
2. দিনের আলোয় অর্ধ-আলোকিত চাঁদকে রডের মাঝখানে রাখা।
3. সূর্য নিচে নামলে ছায়ার প্রান্ত খুঁজে বের করা।
4. মাপার ফিতার পাঠ।

শ্রেণিকক্ষের পরীক্ষা, এবং সম্মিলিতও

লেখকেরা বহু জায়গায় একসঙ্গে পরিমাপের প্রস্তাব দিয়েছেন: ৩০′ নির্ভুলতার ২২৫টি স্বতন্ত্র পরিমাপ গড় অনিশ্চয়তাকে ২′-এ নামিয়ে আনবে; প্রতিটি ১০′ নির্ভুল হলে ২৫টিই যথেষ্ট। তাঁরা মাদ্রিদ ও সান্তিয়াগোর জন্য ২০২৭ সালের অনুকূল তারিখগুলোর তালিকা দিয়েছেন, এবং পাদের সময় নির্ভুলভাবে নির্ধারণের জন্য চাঁদের ছবির ওপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি তৈরি করছেন।

কার্যক্রমটি মাধ্যমিক বিদ্যালয় — যন্ত্র তৈরি, জ্যামিতি, ত্রিকোণমিতি — থেকে বিশ্ববিদ্যালয় পর্যন্ত বিস্তৃত: পঞ্জিকা-সারণি (ephemerides), ত্রুটি-বিস্তার, রিগ্রেশন ও প্রোগ্রামিং। তাঁদের সিমুলেশন কোড উন্মুক্ত।