لا توجد خوارزمية قادرة على التعرّف على بعض الأشكال الرباعية الأبعاد

بعض الأسئلة لا وصفة لها. لا لأن أحدًا لم يجد وصفة بعد، بل لأنه ثبت أنه لا توجد خوارزمية — لا إجراء خطوة بخطوة، مهما طال، يُشغَّل على أي حاسوب — تستطيع الإجابة عنها إجابة صحيحة في كل مرة. ويضيف بحث كاميرون غوردون (Cameron McA. Gordon)، من جامعة تكساس في أوستن، سؤالين من هذا النوع عن الأشكال الرباعية الأبعاد.

هل هذا هو الشكل نفسه؟

يسمّي الرياضيون هذه الأشكال متعددات الشعب الرباعية الأبعاد (4-manifolds): فضاءات تبدو، عن قرب، مثل الفضاء الرباعي الأبعاد العادي في كل مكان. ولتقديمها إلى حاسوب، يفترض البحث أنها مبنية من قطع مسطّحة ملصوقة معًا («خطية قطعةً قطعة»، أو PL)، بحيث يمكن وصف كل منها بقائمة منتهية من البيانات. ويصبح السؤال الأساسي حينئذ: إذا أُعطي شكلان كهذان، فهل هما الشكل نفسه، مع السماح بالتشوّه المتصل؟

في عام 1958، أثبت عمل أ. أ. ماركوف (A. A. Markov) أن هذا السؤال لا خوارزمية له. ويحوّل برهان ماركوف مسألة الشكل إلى مسألة عن الزمر: توجد زمر، معرّفة بعدد منته من القواعد، لا توجد لها خوارزمية تستطيع أن تقرّر ما إذا كان تركيب معيّن من عناصرها يساوي العنصر المحايد — وهي «مسألة الكلمة» (word problem). ومن زمرة كهذه، يمكن بناء أشكال لا تستطيع خوارزمية أن تميّز بينها إلا بحلّ تلك المسألة المستحيلة.

العدّ التنازلي حتى سبعة

بل إن حجّة ماركوف تحصر الصعوبة في أشكال بعينها. خذ S²، سطح كرة عادية، وكوّن الجداء S² × S²، وهو شكل رباعي الأبعاد. ثم الصق k نسخة منه معًا («مجموع متصل»، يُكتب #k). فلبعض قيم k، لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرّر ما إذا كان شكل معيّن هو #k(S² × S²). فأيّ k؟

يتتبّع البحث هذا العدّ التنازلي. فزمرة ذات مسألة كلمة غير قابلة للحل و12 قاعدة، اكتُشفت عام 1969 على يد بوريسوف (Borisov)، أعطت 14 نسخة. ثم نزل الرقم إلى 12 في عمل لغوردون عام 2022. وفُتح طريق جديد على يد م. تانسر (M. Tancer)، عبر تصنيف فريدمان (Freedman) للأشكال الرباعية الأبعاد، وبلغ 9 في الصيغة «الطوبولوجية»، حيث لا يُشترط أن تكون الأشكال مبنية من قطع مسطّحة. وبلغت نسخة سابقة من هذا العمل 8. ثم بُنيت على يد كيغل (Kegel) ولي (Li) ورن (Ren) زمرة غير قابلة للحل أصغر بكثير — 3 مولّدات و9 قواعد — بلغت 7 في الصيغة الطوبولوجية و9 في صيغة القطع المسطّحة.

ويجعل البحث الجديد مسار تانسر صالحًا للأشكال المبنية من قطع مسطّحة أيضًا، ويُثبت ما يلي:

لا توجد خوارزمية تقرّر ما إذا كان متعدد شعب رباعي الأبعاد معيّن هو نفسه، قطعةً قطعة، المجموعَ المتصل لـ7 نسخ من S² × S².

جوهر البرهان قاموس. فلكل كلمة w في زمرة كيغل ولي ورن، يُبنى شكل رباعي الأبعاد. فإذا كانت w تساوي العنصر المحايد، فإن متتالية من الحركات المسموح بها على القواعد — حركات أندروز-كيرتس (Andrews-Curtis)، التي تعيد كتابة الوصف دون أن تغيّر الشكل — تُثبت أن الشكل هو سبع نسخ من S² × S² بالضبط. وإن لم تكن كذلك، فإن الشكل يحتوي على حلقات لا يمكن شدّها حتى تنكمش إلى نقطة — وهذا لا يحدث أبدًا في سبع نسخ من S² × S² — لذا لا يمكن أن يكون تلك النسخ السبع. لذا فإن خوارزمية تتعرّف على #7(S² × S²) ستحلّ مسألة الكلمة، وهذا مستحيل.

الكرات المعقودة

السؤال الثاني يتعلق بالعُقد. فالعقدة العادية دائرة معقودة في الفضاء الثلاثي الأبعاد، وتقرير ما إذا كان يمكن حلّ عقدة ما أمر ممكن: فهناك خوارزمية تعود إلى هاكن (Haken). وبعد زيادة بُعد واحد، يمكن لكرة ثنائية الأبعاد أن تكون معقودة داخل الفضاء الرباعي الأبعاد. وفي الأبعاد الأعلى، من المعروف أن المسألة المقابلة لا خوارزمية لها. أما بالنسبة إلى الكرات الثنائية الأبعاد في الكرة الرباعية الأبعاد S⁴، فلا أحد يعرف.

ويُثبت البحث أنه داخل #7(S² × S²)، لا توجد خوارزمية تقرّر ما إذا كانت كرة ثنائية الأبعاد — أو أي سطح، قابلًا للتوجيه كان أم لا — غير معقودة. وفي الطريق، يبني البحث كرةً في ذلك الشكل يملك الفضاء المحيط بها زمرةً ذات مسألة كلمة غير قابلة للحل، ويبني، في 12 نسخة من S² × S²، كرةً تحتوي زمرتها على نسخة من كل زمرة يمكن وصفها بحاسوب.

الجائزة: صفر نسخة

يحدّد البحث الهدف بوضوح: خفض عدد النسخ إلى صفر. وصفر نسخة يعني الكرة الرباعية الأبعاد S⁴ نفسها. ففي خمسة أبعاد فأكثر، لا تستطيع أي خوارزمية التعرّف على الكرة؛ وفي بُعدين وثلاثة أبعاد، يمكن ذلك. وتبقى الأبعاد الأربعة مسألة مفتوحة — وكذلك السؤال عمّا إذا كان يمكن كشف الكرات المعقودة في S⁴. وكل نسخة تُزال تُدني السؤالين كليهما خطوة.