没有任何算法能识别某些四维形状

有些问题没有解法。并不是因为还没有人找到，而是因为已经证明没有任何算法——任何一步一步执行的程序，无论多长，无论在哪台计算机上运行——能够每次都正确地回答它们。得克萨斯大学奥斯汀分校的Cameron McA. Gordon，又为四维形状增添了两个这样的问题。

这是同一个形状吗？

数学家把这些形状称为四维流形（4-manifold）：近看时处处都像普通四维空间的空间。为了把它们交给计算机，论文假定它们是由平直的小块粘合而成的（“分段线性”，即PL），这样每个形状都能用一份有限的数据清单来描述。于是基本问题是：给定两个这样的形状，它们在连续形变的意义下是否相同？

1958年，马尔可夫（A. A. Markov）证明了这个问题没有算法。马尔可夫的证明把形状问题转化为一个关于群的问题：存在一些由有限多条规则定义的群，对于它们，没有任何算法能判断其元素的某个给定组合是否等于单位元——这就是“字问题”（word problem）。从这样的群出发，可以构造出一些形状，算法只有解决那个不可能的问题，才能把它们区分开来。

倒数到七

马尔可夫的论证甚至把这种困难锁定在了特定的形状上。取S²，即普通球体的表面，再构造乘积S² × S²，这是一个四维形状。把k个这样的形状粘合在一起（称为“连通和”，记作#k）。对于某些k，没有任何算法能判断一个给定的形状是否为#k(S² × S²)。那么是哪些k呢？

论文回顾了这场倒计时。1969年，Borisov找到了一个具有不可解字问题、有12条规则的群，由此得到14个。Gordon在2022年把它降到了12个。M. Tancer找到了一条新路径——借助Freedman对四维形状的分类——在“拓扑”版本中达到了9个；在拓扑版本中，形状不必由平直小块构成。这项工作的一个早期版本曾达到8个。随后，Kegel、Li和Ren构造出了一个小得多的不可解群——3个生成元和9条规则——在拓扑版本中达到了7个，在平直小块版本中达到了9个。

Gordon让Tancer的路径对于由平直小块构成的形状同样奏效，并证明了：

不存在任何算法，能够判断一个给定的四维流形是否与7个S² × S²的连通和在逐块意义下相同。

证明的核心是一部词典。对于Kegel、Li和Ren的群中的每一个字w，Gordon都构造出一个四维形状。如果w等于单位元，那么对规则进行的一系列允许的操作——安德鲁斯-柯蒂斯变换（Andrews-Curtis moves），它们改写描述而不改变形状——会表明这个形状恰好是七个S² × S²。如果w不等于单位元，这个形状就含有无法收缩成一点的环路——这在七个S² × S²中绝不会出现——因此它不可能是那七个S² × S²。因此，一个能识别#7(S² × S²)的算法将能解决字问题，而这是不可能的。

打结的球面

第二个问题与纽结有关。普通的纽结是在三维空间中打了结的圆圈，而判断一个纽结能否解开是做得到的：存在一个由Haken给出的算法。升高一个维度，一个二维球面可以在四维空间中打结。在更高的维度中，相应的问题已知没有算法。对于四维球面S⁴中的二维球面，没有人知道答案。

Gordon证明，在#7(S² × S²)中，没有任何算法能判断一个二维球面——或者任何曲面，无论可定向与否——是否未打结。在此过程中，论文在这个形状中构造了一个球面，其周围空间的群具有不可解的字问题；还在12个S² × S²中构造了一个球面，其群包含了每一个能被计算机描述的群的一个副本。

终极目标：零个

论文明确地提出了目标：把个数降到零。零个意味着四维球面S⁴本身。在五维及更高维度中，没有任何算法能识别球面；在二维和三维中，则存在这样的算法。四维仍是悬而未决的问题——S⁴中打结的球面能否被检测出来，同样悬而未决。每去掉一个，这两个问题就都离答案更近一步。